Найдите число, для которого разность его квадрата и удвоенное значение принимает наименьшее значение

Чтобы найти число, при котором разность его квадрата и его удвоенного значения минимальна, составим математическую модель задачи. 1. Составление функции Пусть искомое число будет $x$. Тогда условие «разность квадрата числа и его удвоенного значения» можно записать в виде функции: $f\left(x\right)=x^2-2x$Нам необходимо найти значение $x$, при котором эта функция принимает минимальное значение. 2. Способ через выделение полного квадрата Это наиболее наглядный способ, позволяющий найти минимум без использования производной. Преобразуем выражение:

1. Возьмем $x^2-2x$. Чтобы дополнить его до полного квадрата, добавим и вычтем единицу:
   $x^2-2x+1-1$ Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата разности:
   $(x-1{)}^2-1$

Так как квадрат любого числа $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен (минимум равен 0 при $x=1$), то наименьшее значение всей функции достигается именно в этой точке. 3. Способ через производную Для нахождения экстремума функции найдем её производную и приравняем её к нулю:

1. Находим производную:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(x^2-2x{)}^{\prime }=2x-2$ Приравниваем к нулю:
   $2x-2=0$ $2x=2$ $x=1$

Поскольку вторая производная $f^{\prime \prime }\left(x\right)=2$ положительна, точка $x=1$ является точкой минимума. 4. Анализ свойств параболы Графиком функции $y=x^2-2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Минимальное значение такой функции находится в её вершине. Координата вершины параболы вычисляется по формуле: $x_v=-\frac{b}{2a}$ В нашем случае $a=1$, $b=-2$: $x_v=-\frac{-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$ Ответ: Искомое число равно 1. (При этом само минимальное значение разности составит $1^2-2\cdot 1=-1$). Хотите, чтобы я решил аналогичную задачу с другими условиями или более сложной функцией?