Найдите производную y=(x^2-5x)(1-2 корня из x)

Question

Найдите производную y=(x^2-5x)(1-2 корня из x)

xX_Eagle_Xx 26.02.2026 09:07

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для нахождения производной функции $y = (x^{2} - 5 x) (1 - 2 \sqrt{x}) y equals open paren x squared minus 5 x close paren open paren 1 minus 2 the square root of x end-root close paren$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} open paren u v close paren prime equals u prime v plus u v prime$ 1. Подготовка компонентов Пусть:

$u = x^{2} - 5 x u equals x squared minus 5 x$ $v = 1 - 2 \sqrt{x} = 1 - 2 x^{1 / 2} v equals 1 minus 2 the square root of x end-root equals 1 minus 2 x raised to the 1 / 2 power$

Найдем производную каждой части:

$u^{'} = (x^{2} - 5 x)^{'} = 2 x - 5 u prime equals open paren x squared minus 5 x close paren prime equals 2 x minus 5$ $v^{'} = (1 - 2 x^{1 / 2})^{'} = 0 - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1 / 2} = - x^{-1 / 2} = - \frac{1}{\sqrt{x}} v prime equals open paren 1 minus 2 x raised to the 1 / 2 power close paren prime equals 0 minus 2 center dot one-half x raised to the negative 1 / 2 power equals negative x raised to the negative 1 / 2 power equals negative the fraction with numerator 1 and denominator the square root of x end-root end-fraction$

2. Применение формулы произведения Подставим полученные значения в формулу: $y^{'} = (2 x - 5) (1 - 2 \sqrt{x}) + (x^{2} - 5 x) (- \frac{1}{\sqrt{x}}) y prime equals open paren 2 x minus 5 close paren open paren 1 minus 2 the square root of x end-root close paren plus open paren x squared minus 5 x close paren open paren negative the fraction with numerator 1 and denominator the square root of x end-root end-fraction close paren$ 3. Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки в первой части выражения: $(2 x - 5) (1 - 2 \sqrt{x}) = 2 x - 4 x \sqrt{x} - 5 + 10 \sqrt{x} open paren 2 x minus 5 close paren open paren 1 minus 2 the square root of x end-root close paren equals 2 x minus 4 x the square root of x end-root minus 5 plus 10 the square root of x end-root$ Раскроем скобки во второй части выражения (учитывая, что $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}} = x \sqrt{x} the fraction with numerator x squared and denominator the square root of x end-root end-fraction equals x the square root of x end-root$ и $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} the fraction with numerator x and denominator the square root of x end-root end-fraction equals the square root of x end-root$ ): $(x^{2} - 5 x) (- \frac{1}{\sqrt{x}}) = - \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{5 x}{\sqrt{x}} = - x \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} open paren x squared minus 5 x close paren open paren negative the fraction with numerator 1 and denominator the square root of x end-root end-fraction close paren equals negative the fraction with numerator x squared and denominator the square root of x end-root end-fraction plus the fraction with numerator 5 x and denominator the square root of x end-root end-fraction equals negative x the square root of x end-root plus 5 the square root of x end-root$ Теперь объединим все слагаемые: $y^{'} = 2 x - 4 x \sqrt{x} - 5 + 10 \sqrt{x} - x \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} y prime equals 2 x minus 4 x the square root of x end-root minus 5 plus 10 the square root of x end-root minus x the square root of x end-root plus 5 the square root of x end-root$ 4. Приведение подобных слагаемых Сгруппируем похожие члены:

Слагаемые с $x \sqrt{x} x the square root of x end-root$ : $-4 x \sqrt{x} - x \sqrt{x} = -5 x \sqrt{x} negative 4 x the square root of x end-root minus x the square root of x end-root equals negative 5 x the square root of x end-root$ Слагаемые с $\sqrt{x} the square root of x end-root$ : $10 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x} 10 the square root of x end-root plus 5 the square root of x end-root equals 15 the square root of x end-root$ Остальные члены: $2 x 2 x$ и $-5 negative 5$

Итоговый результат: $y^{'} = -5 x \sqrt{x} + 2 x + 15 \sqrt{x} - 5 y prime equals negative 5 x the square root of x end-root plus 2 x plus 15 the square root of x end-root minus 5$ Или, если записать через степени $x x$ : $y^{'} = -5 x^{3 / 2} + 2 x + 15 x^{1 / 2} - 5 y prime equals negative 5 x raised to the 3 / 2 power plus 2 x plus 15 x raised to the 1 / 2 power minus 5$ Могу также помочь с вычислением значения этой производной в конкретной точке или нахождением экстремумов функции.

Найдите производную y=(x^2-5x)(1-2 корня из x)

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов