Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции у=-x^3+3x+1

Для функции $y=-x^3+3x+1$ промежутками убывания являются $(-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty )$, промежутком возрастания — $[-1,1]$, точка минимума $x=-1$ при $y=-1$, точка максимума $x=1$ при $y=3$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти её производную $y^{\prime }$. Используя правила дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(-x^3+3x+1{)}^{\prime }=-3x^2+3$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Приравняем $y^{\prime }$ к нулю: $-3x^2+3=0$ $-3(x^2-1)=0$ $x^2=1x_1=-1,x_2=1$️ Шаг 3: Исследование знаков производной и монотонности Разделим числовую прямую на интервалы критическими точками и определим знак производной на каждом из них:

• На интервале $(-\infty ,-1)$: выберем $x=-2$. $y^{\prime }\left(-2\right)=-3(-2{)}^2+3=-9<0$. Функция убывает. На интервале $(-1,1)$: выберем $x=0$. $y^{\prime }\left(0\right)=-3(0{)}^2+3=3>0$. Функция возрастает. На интервале $(1,+\infty )$: выберем $x=2$. $y^{\prime }\left(2\right)=-3(2{)}^2+3=-9<0$. Функция убывает.

️ Шаг 4: Определение экстремумов Экстремумы находятся в точках смены знака производной:

1. В точке $x=-1$ производная меняет знак с $-$ на $+$. Это точка минимума. Значение функции: $y\left(-1\right)=-(-1{)}^3+3(-1)+1=1-3+1=-1$. В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$. Это точка максимума. Значение функции: $y\left(1\right)=-(1{)}^3+3(1)+1=-1+3+1=3$.

Ответ:

• Промежутки возрастания: $[-1,1]$
• Промежутки убывания: $(-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty )$
• Точки экстремума: $x_{min}=-1,y_{min}=-1$; $x_{max}=1,y_{max}=3$

Нужно ли вам также найти точки перегиба или построить график этой функции?