Найдите точку минимума и максимума функций:f(x)=1/3x-x в кубе

Для нахождения точек экстремума (минимума и максимума) функции необходимо исследовать её производную. Рассматриваемая функция: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-x^3$ 1. Нахождение производной функции Используем правила дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)={(\frac{1}{3}x-x^3)}^{\prime }=\frac{1}{3}-3x^2$ 2. Поиск критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю ( $f^{\prime }\left(x\right)=0$): $\frac{1}{3}-3x^2=0$ $3x^2=\frac{1}{3}$ $x^2=\frac{1}{9}$ $x_1=-\frac{1}{3},x_2=\frac{1}{3}$ 3. Определение знаков производной Разложим производную на множители для анализа знаков: $3(\frac{1}{9}-x^2)=3(\frac{1}{3}-x)(\frac{1}{3}+x)$ .

• На интервале $(-\infty ;-1/3)$: возьмем $x=-1$. Производная $1/3-3(-1{)}^2=-2.66<0$. Функция убывает. На интервале $(-1/3;1/3)$: возьмем $x=0$. Производная $1/3-0=1/3>0$. Функция возрастает. На интервале $(1/3;+\infty )$: возьмем $x=1$. Производная $1/3-3(1{)}^2=-2.66<0$. Функция убывает.

4. Выводы по точкам экстремума

• Точка минимума: При переходе через $x=-1/3$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Следовательно, это точка локального минимума.

  $x_{min}=-1/3$

  Точка максимума: При переходе через $x=1/3$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Следовательно, это точка локального максимума.

  $x_{max}=1/3$

Дополнительно: Значения функции в этих точках Для полноты картины вычислим $y$ в найденных точках:

• $f(-1/3)=\frac{1}{3}(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{3}{)}^3=-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}=-\frac{2}{27}$ $f(1/3)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)-(\frac{1}{3}{)}^3=\frac{1}{9}-\frac{1}{27}=\frac{2}{27}$

Ответ: Точка минимума $x=-1/3$, точка максимума $x=1/3$. Хотите, чтобы я рассчитал вторую производную для подтверждения выпуклости графика в этих точках?