Найти экстремумы функции f(x)=e^x*(2x-3)

Для нахождения экстремумов функции $f\left(x\right)=e^x(2x-3)$ воспользуемся классическим алгоритмом исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Используем правило дифференцирования произведения функций $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

1. Пусть $u=e^x$, тогда $u^{\prime }=e^x$. Пусть $v=2x-3$, тогда $v^{\prime }=2$.

Вычисляем производную: $f^{\prime }\left(x\right)=(e^x{)}^{\prime }\cdot (2x-3)+e^x\cdot (2x-3{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(2x-3)+e^x\cdot 2$Вынесем $e^x$ за скобки для упрощения: $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(2x-3+2)$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(2x-1)$2. Нахождение критических точек Для поиска экстремумов приравняем производную к нулю: $e^x(2x-1)=0$Так как показательная функция $e^x$ всегда строго больше нуля ( $e^x>0$) при любых значениях $x$, уравнение сводится к линейному: $2x-1=0$ $2x=1$ $x=0.5$Критическая точка одна: $x=0.5$. 3. Определение характера экстремума Исследуем знак производной $f^{\prime }\left(x\right)$ в окрестности точки $x=0.5$:

• При $x<0.5$: возьмем $x=0$.
  $f^{\prime }\left(0\right)=e^0(2\cdot 0-1)=1\cdot \left(-1\right)=-1<0$. Функция убывает. При $x>0.5$: возьмем $x=1$.
  $f^{\prime }\left(1\right)=e^1(2\cdot 1-1)=e\cdot 1\approx 2.72>0$. Функция возрастает.

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x=0.5$, то это точка минимума. 4. Вычисление значения функции в точке экстремума Подставим $x=0.5$ в исходную функцию $f\left(x\right)$: $f\left(0.5\right)=e^{0.5}(2\cdot 0.5-3)$ $f\left(0.5\right)=\sqrt{e}(1-3)$ $f\left(0.5\right)=-2\sqrt{e}$ Приблизительное значение: $-2\cdot 1.649\approx -3.298$. Ответ: Функция имеет один экстремум — минимум.

• Точка минимума: $x=0.5$ Минимум функции: $f\left(0.5\right)=-2\sqrt{e}$

Хотите, чтобы я проверил эту функцию на наличие точек перегиба?