Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y = x4 + 6x3 - 24х2 + 9х - 6

График функции выпуклый вниз на интервалах $(-\infty ,-4)$ и $(1,+\infty )$, выпуклый вверх на интервале $(-4,1)$, а точками перегиба являются $\mathbf{(}-4\mathbf{,}-554\mathbf{)}$ и $\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}-14\mathbf{)}$. ️ Шаг 1: Нахождение второй производной функции Для исследования графика на выпуклость, вогнутость и нахождения точек перегиба необходимо вычислить вторую производную функции $y=x^4+6x^3-24x^2+9x-6$. Сначала найдем первую производную: $y^{\prime }=(x^4+6x^3-24x^2+9x-6{)}^{\prime }=4x^3+18x^2-48x+9$Затем найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(4x^3+18x^2-48x+9{)}^{\prime }=12x^2+36x-48$️ Шаг 2: Определение критических точек второй производной Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки, в которых кривизна графика может измениться: $12x^2+36x-48=0$Разделим уравнение на 12 для упрощения: $x^2+3x-4=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета: $(x+4)(x-1)=0$Получаем критические точки: $x_1=-4$ и $x_2=1$. ️ Шаг 3: Исследование знаков второй производной Разделим область определения функции на интервалы точками $x=-4$ и $x=1$ и определим знак $y^{\prime \prime }$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,-4)$: возьмем $x=-5$. $y^{\prime \prime }\left(-5\right)=12\left(\right(-5{)}^2+3\left(-5\right)-4)=12(25-15-4)=72>0$. График выпуклый вниз (вогнутый). На интервале $(-4,1)$: возьмем $x=0$. $y^{\prime \prime }\left(0\right)=12(0+0-4)=-48<0$. График выпуклый вверх. На интервале $(1,+\infty )$: возьмем $x=2$. $y^{\prime \prime }\left(2\right)=12(4+6-4)=72>0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

️ Шаг 4: Вычисление координат точек перегиба Так как в точках $x=-4$ и $x=1$ вторая производная меняет знак, они являются абсциссами точек перегиба. Найдем их ординаты: $y\left(-4\right)=(-4{)}^4+6(-4{)}^3-24(-4{)}^2+9(-4)-6=256-384-384-36-6=-554$ $y\left(1\right)=1^4+6(1{)}^3-24(1{)}^2+9\left(1\right)-6=1+6-24+9-6=-14$Точки перегиба: $(-4,-554)$ и $(1,-14)$. Ответ: Интервалы выпуклости вниз: $\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{\infty }\mathbf{,}-4\mathbf{)}\mathbf{\cup }\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{+}\mathbf{\infty }\mathbf{)}$ Интервал выпуклости вверх: $\mathbf{(}-4\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}$ Точки перегиба: $\mathbf{(}-4\mathbf{,}-554\mathbf{)}$ и $\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}-14\mathbf{)}$ Требуется ли вам построение эскиза графика на основе полученных данных об экстремумах и точках перегиба?