Найти неопределенный интеграл dx/(1+x^2)^2

Для нахождения неопределенного интеграла $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$ наиболее эффективным методом является тригонометрическая подстановка или использование рекуррентной формулы. Метод тригонометрической подстановки Пусть $x=\tan \left(t\right)$. Тогда:

• $dx={\sec }^2\left(t\right)dt=\frac{dt}{{\cos }^2\left(t\right)}$ $1+x^2=1+{\tan }^2\left(t\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(t\right)}$

Подставим эти значения в интеграл: $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}=\int \frac{\frac{dt}{{\cos }^2\left(t\right)}}{{\left(\frac{1}{{\cos }^2\left(t\right)}\right)}^2}=\int \frac{dt}{{\cos }^2\left(t\right)}\cdot {\cos }^4\left(t\right)=\int {\cos }^2\left(t\right)dt$ Интегрирование полученного выражения Для вычисления $\int {\cos }^2\left(t\right)dt$ воспользуемся формулой понижения степени: ${\cos }^2\left(t\right)=\frac{1+\cos \left(2t\right)}{2}$ $\int \frac{1+\cos \left(2t\right)}{2}dt=\frac{1}{2}\int dt+\frac{1}{2}\int \cos \left(2t\right)dt=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin \left(2t\right)+C$ Разложим $\sin \left(2t\right)$ по формуле двойного угла: $\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\left(2\sin \right(t\left)\cos \right(t\left)\right)+C=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\sin \left(t\right)\cos \left(t\right)+C$ Обратная подстановка Теперь необходимо вернуться к переменной $x$, используя $x=\tan \left(t\right)$:

1. $t=\arctan \left(x\right)$ Используя прямоугольный треугольник, где противолежащий катет равен $x$, а прилежащий $1$ (гипотенуза $\sqrt{1+x^2}$ ):
   • $\sin \left(t\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\cos \left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Подставляем эти значения: $\frac{1}{2}\arctan \left(x\right)+\frac{1}{2}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}})+C$ Окончательный ответ $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^2}=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\arctan \left(x\right)+C$ Хотите, чтобы я вывел общую рекуррентную формулу для интегралов вида $\int \frac{dx}{(1+x^2{)}^n}$ ?