Cos2x-cos(3п/2+x)+2=0

Для решения уравнения $\cos \left(2x\right)-\cos (\frac{3\pi }{2}+x)+2=0$ воспользуемся тригонометрическими формулами приведения и двойного угла. 1. Упрощение слагаемых

• Формула приведения: Согласно тригонометрическому кругу, $\cos (\frac{3\pi }{2}+x)=\sin \left(x\right)$ . Формула двойного угла: Чтобы привести уравнение к одной функции, выразим $\cos \left(2x\right)$ через синус: $\cos \left(2x\right)=1-2{\sin }^2\left(x\right)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $(1-2{\sin }^2(x\left)\right)-\sin \left(x\right)+2=0$2. Приведение к квадратному уравнению Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $-2{\sin }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)+3=0$Умножим всё уравнение на $-1$ для удобства: $2{\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)-3=0$3. Решение квадратного уравнения Введем замену переменной: пусть $t=\sin \left(x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем уравнение: $2t^2+t-3=0$Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=1+24=25$Находим корни $t$: $t_1=\frac{-1+5}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$ $t_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{6}{4}=-1.5$ 4. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_2=-1.5$: Данное значение не входит в область значений синуса ( $-1.5<-1$), поэтому решений нет. $t_1=1$:
   $\sin \left(x\right)=1$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен единице в верхней точке тригонометрического круга: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также отобрать корни этого уравнения на заданном числовом промежутке, если это необходимо.