Найдите точку максимума функции f(х)= (х+7)^{2} e^{4-х}

Точкой максимума функции $f\left(x\right)=(x+7{)}^2{e}^{4-x}$ является $x=-5$. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения экстремумов функции необходимо вычислить её производную $f^{\prime }\left(x\right)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ и цепное правило для сложной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=\left(\right(x+7{)}^2{)}^{\prime }{e}^{4-x}+(x+7{)}^2(e^{4-x}{)}^{\prime }$Вычисляем производные отдельных множителей: $\left(\right(x+7{)}^2{)}^{\prime }=2(x+7)$ $(e^{4-x}{)}^{\prime }=e^{4-x}\cdot (4-x{)}^{\prime }=-e^{4-x}$Подставляем их в выражение: $f^{\prime }\left(x\right)=2(x+7)e^{4-x}-(x+7{)}^2{e}^{4-x}$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравниваем производную к нулю для поиска стационарных точек. Вынесем общий множитель $(x+7)e^{4-x}$ за скобки: $(x+7)e^{4-x}(2-(x+7\left)\right)=0$ $(x+7)e^{4-x}(-x-5)=0$ Так как $e^{4-x}>0$ при любых $x$, уравнение распадается на два:

1. $x+7=0x_1=-7$ $-x-5=0x_2=-5$

️ Шаг 3: Определение знаков производной и характера точек Проанализируем знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=-(x+7)(x+5)e^{4-x}$ на полученных интервалах:

1. На интервале $(-\infty ;-7)$: возьмем $x=-10$, тогда $f^{\prime }\left(-10\right)=-\left(-3\right)\left(-5\right)(+)<0$. Функция убывает. На интервале $(-7;-5)$: возьмем $x=-6$, тогда $f^{\prime }\left(-6\right)=-\left(1\right)\left(-1\right)(+)>0$. Функция возрастает. На интервале $(-5;+\infty )$: возьмем $x=0$, тогда $f^{\prime }\left(0\right)=-\left(7\right)\left(5\right)(+)<0$. Функция убывает.

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=-5$. Ответ: -5 Укажите, требуется ли проверка значения функции в найденной точке или расчет второй производной для подтверждения экстремума.