Найти область определения функции log x(x2-6x)/(x-10)2

Для нахождения области определения функции $f\left(x\right)={\log }_x\frac{x^2-6x}{(x-10{)}^2}$ необходимо составить и решить систему неравенств, исходя из ограничений логарифма (основание и аргумент). Условия существования функции Область определения задается следующими условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\frac{x^2-6x}{(x-10{)}^2}>0$ Основание логарифма должно быть больше нуля: $x>0$ Основание логарифма не должно быть равно единице: $x\ne 1$

Решение системы неравенств 1. Анализ аргумента: $\frac{x(x-6)}{(x-10{)}^2}>0$

• Знаменатель $(x-10{)}^2$ всегда положителен при $x\ne 10$. Значит, знак дроби зависит только от числителя $x(x-6)$. Решим уравнение $x(x-6)=0$. Корни: $x=0$ и $x=6$. Методом интервалов для выражения $x(x-6)$ получаем положительные значения на промежутках: $(-\infty ,0)\cup (6,+\infty )$. Учитываем, что $x\ne 10$ (так как знаменатель не может быть равен нулю).

2. Ограничения на основание: $x>0$ и $x\ne 1$.

• Из первого условия (аргумент) и условия $x>0$ следует, что промежуток $(-\infty ,0)$ нам не подходит. Остается интервал $(6,+\infty )$, из которого нужно исключить точку $x=10$. Условие $x\ne 1$ уже соблюдено, так как мы рассматриваем значения $x>6$.

Итоговый результат Объединяя все условия:

• $x>6$ $x\ne 10$

Запишем область определения в виде объединения интервалов: $D\left(f\right)=(6,10)\cup (10,+\infty )$Могу составить для вас подробную таблицу с проверкой знаков на каждом интервале или найти производную этой функции. Что было бы полезнее?