Найти производную функции 1)y= (1-cos2x)/(1+cos2x)

Для нахождения производной функции $y=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$ можно воспользоваться правилами дифференцирования дроби, однако гораздо эффективнее сначала упростить выражение с помощью тригонометрических формул. 1. Упрощение функции Используем формулы понижения степени или двойного угла:

• $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$

Подставим эти значения в исходную функцию: $y=\frac{2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x$ Таким образом, исходная задача сводится к нахождению производной функции $y={\tan }^{2}x$. 2. Дифференцирование Применим правило дифференцирования сложной функции (внешняя функция — квадрат, внутренняя — тангенс): $y^{\prime }=({\tan }^{2}x{)}^{\prime }=2\cdot \tan x\cdot (\tan x{)}^{\prime }$Известно, что производная тангенса равна $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ . Подставляем: $y^{\prime }=2\tan x\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}$ 3. Преобразование результата Для приведения ответа к более компактному виду распишем $\tan x$ как $\frac{\sin x}{\cos x}$ : $y^{\prime }=2\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ Или, используя свойство секанса ( $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ ): $y^{\prime }=2\tan x{\sec }^{2}x$Ответ: $y^{\prime }=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\text{или}2\tan x{\sec }^{2}x$ Я могу также помочь с вычислением производной этой функции через правило частного, если вам необходимо увидеть альтернативный метод решения. Хотите рассмотреть этот вариант?