Найти производную функции заданной неявно arctg(2x-y)-e^-y=0

Для нахождения производной функции $y^{\prime }$, заданной неявно уравнением $\arctan (2x-y)-e^{-y}=0$, воспользуемся методом дифференцирования обеих частей уравнения по переменной $x$. При этом будем помнить, что $y$ является функцией от $x$, то есть $y=y\left(x\right)$. 1. Дифференцирование уравнения Продифференцируем каждое слагаемое по $x$: $\frac{d}{dx}\left(\arctan \right(2x-y\left)\right)-\frac{d}{dx}\left(e^{-y}\right)=\frac{d}{dx}\left(0\right)$ Применим правило дифференцирования сложной функции:

• Для $\arctan \left(u\right)$, где $u=2x-y$:
  $\frac{1}{1+(2x-y{)}^2}\cdot (2x-y{)}^{\prime }=\frac{2-y^{\prime }}{1+(2x-y{)}^2}$ Для $e^u$, где $u=-y$:
  $e^{-y}\cdot (-y{)}^{\prime }=-y^{\prime }{e}^{-y}$

2. Составление общего уравнения Подставим полученные производные обратно в уравнение: $\frac{2-y^{\prime }}{1+(2x-y{)}^2}-(-y^{\prime }{e}^{-y})=0$ Упростим знаки: $\frac{2-y^{\prime }}{1+(2x-y{)}^2}+y^{\prime }{e}^{-y}=0$ 3. Выделение производной $y^{\prime }$ Разделим дробь на две части, чтобы сгруппировать слагаемые с $y^{\prime }$: $\frac{2}{1+(2x-y{)}^2}-\frac{y^{\prime }}{1+(2x-y{)}^2}+y^{\prime }{e}^{-y}=0$ Перенесем слагаемые с $y^{\prime }$ в одну сторону, а свободные от $y^{\prime }$ — в другую: $y^{\prime }{e}^{-y}-\frac{y^{\prime }}{1+(2x-y{)}^2}=-\frac{2}{1+(2x-y{)}^2}$ Вынесем $y^{\prime }$ за скобки: $y^{\prime }(e^{-y}-\frac{1}{1+(2x-y{)}^2})=-\frac{2}{1+(2x-y{)}^2}$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $y^{\prime }\left(\frac{e^{-y}(1+(2x-y{)}^2)-1}{1+(2x-y{)}^2}\right)=-\frac{2}{1+(2x-y{)}^2}$ 4. Окончательный результат Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы (и не равны нулю в области определения), мы можем их сократить: $y^{\prime }\left(e^{-y}\right(1+(2x-y{)}^2)-1)=-2$Выражаем $y^{\prime }$: $y^{\prime }=\frac{-2}{e^{-y}(1+(2x-y{)}^2)-1}$ Чтобы избавиться от знака «минус» в числителе, можно поменять знаки в знаменателе: $y^{\prime }=\frac{2}{1-e^{-y}(1+(2x-y{)}^2)}$ Ответ: $y^{\prime }=\frac{2}{1-e^{-y}(1+(2x-y{)}^2)}$ Хотите, чтобы я проверил это решение для конкретной точки $(x,y)$ или нашел вторую производную?