Найти все первообразные функции f x = 3x^2 +2x+e^x

Для нахождения всех первообразных функции $f\left(x\right)=3x^2+2x+e^x$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от данной функции. Шаги решения Первообразная $F\left(x\right)$ определяется как: $F\left(x\right)=\int (3x^2+2x+e^x)dx$Согласно правилам интегрирования, интеграл суммы равен сумме интегралов: $F\left(x\right)=\int 3x^{2}dx+\int 2xdx+\int e^{x}dx$Применим основные табличные формулы интегрирования:

1. Для степенной функции: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ Для показательной функции: $\int e^{x}dx=e^x+C$

Вычисление слагаемых

• Первое слагаемое:
  $\int 3x^{2}dx=3\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}=3\cdot \frac{x^3}{3}={\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}$ Второе слагаемое:
  $\int 2xdx=2\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}=2\cdot \frac{x^2}{2}={\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}$ Третье слагаемое:
  $\int e^{x}dx={\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}$

Итоговый результат Объединяя все части и добавляя произвольную постоянную $C$, которая характеризует семейство всех первообразных, получаем: $F\left(x\right)=x^3+x^2+e^x+C$Где $C$ — любое действительное число ( $C\in \mathbb{R}$). Проверка: Для проверки найдем производную от полученного результата: $F^{\prime }\left(x\right)=(x^3+x^2+e^x+C{)}^{\prime }=3x^2+2x+e^x+0=f(x)$. Результат совпадает с исходной функцией. Я могу составить для вас аналогичные задачи для практики или разобрать нахождение первообразной, проходящей через конкретную точку. Хотите попробовать?