Найти точку минимума функции y=(x+6)^2 e^4-x (то есть х+6 в квадрате умножить на е в степени 4-х)

Точкой минимума функции $y=(x+6{)}^2{e}^{4-x}$ является $x=-6$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для поиска экстремумов необходимо вычислить производную функции по правилу дифференцирования произведения $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Пусть $u=(x+6{)}^2$, тогда $u^{\prime }=2(x+6)$. Пусть $v=e^{4-x}$, тогда $v^{\prime }=e^{4-x}\cdot (4-x{)}^{\prime }=-e^{4-x}$. Применим формулу: $y^{\prime }=2(x+6)e^{4-x}+(x+6{)}^2(-e^{4-x})$Вынесем общий множитель $(x+6)e^{4-x}$ за скобки: $y^{\prime }=(x+6)e^{4-x}(2-(x+6\left)\right)=(x+6)e^{4-x}(-x-4)$Упростим выражение: $y^{\prime }=-(x+6)(x+4)e^{4-x}$Шаг 2: Определение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $-(x+6)(x+4)e^{4-x}=0$ Так как показательная функция $e^{4-x}$ всегда больше нуля, уравнение распадается на два:

1. $x+6=0x=-6$ $x+4=0x=-4$

Шаг 3: Исследование знаков производной Определим знаки производной на интервалах, используя метод интервалов для выражения $y^{\prime }=-(x+6)(x+4)e^{4-x}$:

1. На промежутке $(-\infty ,-6)$ выберем $x=-7$: $y^{\prime }=-\left(-1\right)\left(-3\right)(+)=-$. Функция убывает. На промежутке $(-6,-4)$ выберем $x=-5$: $y^{\prime }=-\left(1\right)\left(-1\right)(+)=+$. Функция возрастает. На промежутке $(-4,+\infty )$ выберем $x=0$: $y^{\prime }=-\left(6\right)\left(4\right)(+)=-$. Функция убывает.

Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке $x=-6$. Ответ: Точка минимума функции равна $-6$. Сообщите, нужно ли вам найти минимальное значение функции в этой точке или исследовать её на максимум?