Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна 21/16, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый со знаком +, второй со знаком - и т.д.) равна 13/16. найдите знаменатель прогрессии

Знаменатель прогрессии равен 1/4. Шаг 1: Составление системы уравнений Пусть $b_1=1$ — первый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель ( $q>0$), а $n$ — количество членов. Сумма $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ . Согласно условию: $\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{21}{16}$ Для суммы с чередующимися знаками прогрессия имеет вид: $1,-q,q^2,-q^3,\dots ,(-q{)}^{n-1}$. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $1$ и знаменателем $-q$. Её сумма: $\frac{1-(-q{)}^n}{1-(-q)}=\frac{1-(-q{)}^n}{1+q}=\frac{13}{16}$ Шаг 2: Анализ четности $n$ Рассмотрим два случая для числа членов $n$. Случай 1: $n$ — четное. Тогда $(-q{)}^n=q^n$. Второе уравнение примет вид $\frac{1-q^n}{1+q}=\frac{13}{16}$ . Из первого уравнения $1-q^n=\frac{21}{16}(1-q)$ . Подставим это во второе: $\frac{21(1-q)}{16(1+q)}=\frac{13}{16}⟹21-21q=13+13q⟹34q=8⟹q=\frac{4}{17}$ Проверим на существование целого $n$: $1-(4/17{)}^n=\frac{21}{16}(1-4/17)=\frac{21\cdot 13}{16\cdot 17}=\frac{273}{272}$ . Тогда $(4/17{)}^n=1-273/272=-1/272$, что невозможно. Случай 2: $n$ — нечетное. Тогда $(-q{)}^n=-q^n$. Второе уравнение примет вид $\frac{1+q^n}{1+q}=\frac{13}{16}$ . Выразим $q^n$ из первого уравнения: $q^n=1-\frac{21}{16}(1-q)$ . Подставим во второе: $\frac{1+1-\frac{21}{16}(1-q)}{1+q}=\frac{13}{16}$ Умножим обе части на $16(1+q)$: $32-21(1-q)=13(1+q)$ $32-21+21q=13+13q$ $11+21q=13+13q$ $8q=2⟹q=\frac{1}{4}$ Шаг 3: Проверка решения При $q=1/4$ найдем $n$ из первого уравнения: $\frac{1-(1/4{)}^n}{1-1/4}=\frac{4(1-(1/4{)}^n)}{3}=\frac{21}{16}$ $1-(1/4{)}^n=\frac{21\cdot 3}{16\cdot 4}=\frac{63}{64}$ $(1/4{)}^n=1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}⟹(1/4{)}^n=(1/4{)}^3⟹n=3$ Так как $n=3$ является нечетным числом, условие выполняется. Ответ: Знаменатель прогрессии равен 1/4. Хотите ли вы разобрать решение подобных задач, где количество членов прогрессии бесконечно?