Получите формулу для ускорения свободного падения из закона всемирного тяготения.

Для вывода формулы ускорения свободного падения необходимо рассмотреть взаимодействие тела массой $m$ с планетой (например, Землей), масса которой равна $M$, а радиус — $R$. 1. Основные физические законы В основе вывода лежат два фундаментальных закона классической механики:

• Закон всемирного тяготения Ньютона: Сила гравитационного притяжения $F$ между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
  $F=G\frac{M\cdot m}{r^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная ( $G\approx 6,674\cdot {10}^{-11}{\text{м}}^3/(\text{кг}\cdot {\text{с}}^2)$). Второй закон Ньютона: Сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:
  $F=m\cdot a$В случае свободного падения под действием только силы тяжести, ускорение $a$ обозначается как $g$. Следовательно:
  $F=m\cdot g$

2. Математический вывод Чтобы найти ускорение свободного падения, нужно приравнять выражение для гравитационной силы к выражению из второго закона Ньютона:

1. Приравнивание сил:
   $m\cdot g=G\frac{M\cdot m}{r^2}$ Сокращение массы тела:
   Так как масса тела $m$ присутствует в обеих частях уравнения и не равна нулю, мы можем на неё разделить:
   $g=\frac{G\cdot M}{r^2}$

3. Анализ результата Полученная формула показывает, от чего зависит величина $g$:

• Масса планеты ( $M$): Чем массивнее небесное тело, тем выше ускорение свободного падения на нем.
• Расстояние от центра ( $r$): Ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния. Если тело находится непосредственно на поверхности планеты, то $r$ принимается равным радиусу планеты $R$.

Итоговая формула для поверхности планеты: $g=\frac{G\cdot M}{R^2}$

Важное замечание: Из формулы видно, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела ( $m$). Это подтверждает знаменитый вывод Галилея о том, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением.

Я могу рассчитать точное значение $g$ для любой планеты Солнечной системы или вычислить, как изменится вес объекта на определенной высоте над Землей. Желаете провести такой расчет?