Прямая y=-6x-10 является касательной к графику функции y=x3+4x2-6x-10. найдите абсциссу точки касания.

Абсцисса точки касания равна 0. Шаг 1: Нахождение производной и приравнивание к угловому коэффициенту Угловой коэффициент касательной $y=kx+b$ равен значению производной функции $f\left(x\right)$ в точке касания $x_0$. Для прямой $y=-6x-10$ коэффициент $k=-6$. Найдем производную функции $y=x^3+4x^2-6x-10$: $y^{\prime }=(x^3+4x^2-6x-10{)}^{\prime }=3x^2+8x-6$Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной: $3x^2+8x-6=-6$ $3x^2+8x=0$ $x(3x+8)=0$Получаем два кандидата на абсциссу точки касания: $x_1=0$ и $x_2=-\frac{8}{3}$ . Шаг 2: Проверка условия касания Точка касания должна принадлежать и графику функции, и самой касательной. Проверим значения функций в найденных точках.

1. Для $x_1=0$:
   Значение в уравнении касательной: $y\left(0\right)=-6\cdot 0-10=-10$.
   Значение в уравнении функции: $y\left(0\right)=0^3+4\cdot 0^2-6\cdot 0-10=-10$.
   Значения совпадают, значит $x=0$ — точка касания. Для $x_2=-\frac{8}{3}$ :
   Значение в уравнении касательной: $y(-\frac{8}{3})=-6\cdot (-\frac{8}{3})-10=16-10=6$ .
   Значение в уравнении функции: $y(-\frac{8}{3})=(-\frac{8}{3}{)}^3+4(-\frac{8}{3}{)}^2-6(-\frac{8}{3})-10=-\frac{512}{27}+\frac{256}{9}+16-10=\frac{256}{27}+6\ne 6$ .
   Значения не совпадают, следовательно, в этой точке касания нет.

Ответ: Абсцисса точки касания равна 0. Укажите, требуется ли вам графическая интерпретация взаимного расположения этих функций для лучшего понимания задачи.