Решение уравнения х4=-16

Уравнение $x^4=-16$ не имеет решений в области действительных чисел, так как любая действительная переменная при возведении в четную степень дает неотрицательный результат. Однако уравнение имеет четыре корня в области комплексных чисел. Алгоритм решения Для нахождения корней воспользуемся формулой извлечения корня $n$-ой степени из комплексного числа (формула Муавра).

1. Представим число -16 в тригонометрической форме:
   Комплексное число $z=a+bi$. В нашем случае $z=-16+0i$.
   • Модуль числа: $\left|z\right|=r=\sqrt{(-16{)}^2+0^2}=16$ . Аргумент числа: так как число отрицательное и лежит на действительной оси, $\varphi =\pi$ (или ${180}^{\circ }$). Запись: $-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$.
   Общая формула корней:
   Для уравнения $x^n=z$ корни вычисляются по формуле:
   $x_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n})$ где $n=4$, $r=16$, $\varphi =\pi$, а $k$ принимает значения $0,1,2,3$.

Вычисление корней Рассчитаем значение коэффициента $\sqrt[4]{16}=2$ .

• При $k=0$:
  $x_0=2(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=2(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{2}}$ При $k=1$:
  $x_1=2(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})=2(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{2}}$ При $k=2$:
  $x_2=2(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4})=2(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{2}}$ При $k=3$:
  $x_3=2(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4})=2(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{i}\sqrt{\mathbf{2}}$

Итоговый ответ Уравнение имеет четыре комплексных корня: $x=\pm \sqrt{2}\pm i\sqrt{2}$ В сокращенной записи:

1. $x_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ $x_2=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ $x_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ $x_4=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$

Я могу также разложить это выражение на множители в виде квадратных трехчленов, если это необходимо.