Решить уравнение 2 косинус в квадрате икс плюс 5 синус икс минус 4 равно 0

Для решения уравнения $2{\cos }^{2}x+5\sin x-4=0$ воспользуемся методами тригонометрических преобразований и введения новой переменной. 1. Приведение к одной функции Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, чтобы выразить ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$Подставим это выражение в исходное уравнение: $2(1-{\sin }^{2}x)+5\sin x-4=0$2. Раскрытие скобок и упрощение $2-2{\sin }^{2}x+5\sin x-4=0$ $-2{\sin }^{2}x+5\sin x-2=0$Умножим всё уравнение на $-1$ для удобства: $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$3. Введение новой переменной Пусть $\sin x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2-5t+2=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$ $\sqrt{D}=3$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{5+3}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$ $t_2=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=0.5$ 5. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=2$ — не подходит, так как значение синуса не может превышать $1$. $t_2=0.5$ — подходит.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $\sin x=\frac{1}{2}$ Используя общую формулу для синуса: $x=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Или, записывая в виде двух серий решений:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке?