Решить уравнение 6sin^2+cosx-5=0 и найдите корни,принадлежащие отрезку [2п,3п]

Корни уравнения: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ и $x=\pm \arccos (-\frac{1}{3})+2\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$; корни на отрезке $[2\pi ,3\pi ]$ — это $\frac{7\pi }{3}$ и $2\pi +\arccos (-\frac{1}{3})$ . Шаг 1: Сведение к квадратному уравнению Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\left(x\right)=1-{\cos }^2\left(x\right)$, чтобы выразить все через косинус: $6(1-{\cos }^2(x\left)\right)+\cos \left(x\right)-5=0$ $6-6{\cos }^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)-5=0$ $-6{\cos }^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)+1=0$ Умножим на $-1$: $6{\cos }^2\left(x\right)-\cos \left(x\right)-1=0$ Шаг 2: Решение через замену переменной Пусть $t=\cos \left(x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $6t^2-t-1=0$ Найдем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-1)=1+24=25$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{1-5}{12}=-\frac{4}{12}=-\frac{1}{3}$ Оба значения подходят под условие $\left|t\right|\le 1$. Шаг 3: Нахождение общих решений $x$

1. $\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}⟹x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(x\right)=-\frac{1}{3}⟹x=\pm \arccos (-\frac{1}{3})+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Шаг 4: Отбор корней на отрезке $[2\pi ,3\pi ]$ Проверим корни, подставляя целые значения $k$ и $n$:

1. Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ : при $k=1$, $x=\frac{7\pi }{3}\approx 2,33\pi$ (подходит). Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ : при $k=1$, $x=\frac{5\pi }{3}\approx 1,67\pi$ (мало); при $k=2$, $x=\frac{11\pi }{3}\approx 3,67\pi$ (много). Для $x=\arccos (-\frac{1}{3})+2\pi n$ : так как $\frac{\pi }{2}<\arccos (-\frac{1}{3})<\pi$ , то при $n=1$ значение $x=2\pi +\arccos (-\frac{1}{3})$ лежит в интервале $(2,5\pi ,3\pi )$ (подходит). Для $x=-\arccos (-\frac{1}{3})+2\pi n$ : при $n=1$, $x\approx 2\pi -1,91<2\pi$; при $n=2$, $x\approx 4\pi -1,91>3\pi$ (не подходят).

Ответ: а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\pm \arccos (-\frac{1}{3})+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ б) $\frac{7\pi }{3};2\pi +\arccos (-\frac{1}{3})$ Нужна ли вам помощь с графической интерпретацией этих корней на тригонометрической окружности?