Sin2x+√0,25-cos2x=0 0,25-cos2x полностью под корнем, а не только 0,25 найти сумму корней

Для решения уравнения $\sin 2x+\sqrt{0,25-{\cos }^{2}x}=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами корней. 1. Преобразование уравнения Преобразуем выражение под корнем. Из основного тригонометрического тождества известно, что ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Однако в данном случае удобнее использовать формулу понижения степени: ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ Но еще проще заметить, что уравнение содержит $\sin 2x$ и функцию от $\cos 2x$. Перенесем корень в правую часть: $\sqrt{0,25-{\cos }^{2}x}=-\sin 2x$ 2. Область допустимых значений (ОДЗ) и условия Для существования и равенства сторон должны выполняться два условия:

1. Под коренное выражение: $0,25-{\cos }^{2}x\ge 0{\cos }^{2}x\le 0,25$. Это значит $\left|\cos x\right|\le 0,5$. Правая часть: Так как корень всегда неотрицателен, $-\sin 2x\ge 0$, следовательно, $\sin 2x\le 0$.

3. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $0,25-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}2x$Используем формулу ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ и ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x$: $\frac{1}{4}-\frac{1+\cos 2x}{2}=1-{\cos }^{2}2x$ Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей: $1-2(1+\cos 2x)=4-4{\cos }^{2}2x$ $1-2-2\cos 2x=4-4{\cos }^{2}2x$ $4{\cos }^{2}2x-2\cos 2x-5=0$4. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\cos 2x$, где $\left|t\right|\le 1$. $4t^2-2t-5=0$Находим дискриминант: $D=(-2{)}^2-4\cdot 4\cdot (-5)=4+80=84$Корни: $t=\frac{2\pm \sqrt{84}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{21}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{4}$ Проверим значения:

• $t_1=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\approx \frac{1+4,58}{4}=1,395$ (не подходит, так как $>1$) $t_2=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\approx \frac{1-4,58}{4}=-0,895$ (подходит)

5. Поиск корней и их суммы Поскольку в условии не указан конкретный промежуток для поиска суммы корней, обычно подразумевается сумма корней на стандартном периоде $[0;2\pi ]$ или исследование симметрии. Из уравнения $\cos 2x=\frac{1-\sqrt{21}}{4}$ получаем два решения на периоде $2\pi$ для аргумента $2x$:

1. $2x_1=\arccos \left(\frac{1-\sqrt{21}}{4}\right)+2\pi k$ $2x_2=-\arccos \left(\frac{1-\sqrt{21}}{4}\right)+2\pi k$

Учитывая условие $\sin 2x\le 0$, аргумент $2x$ должен находиться в 3-й или 4-й четверти. Значение $\cos 2x\approx -0,895$ (отрицательное) соответствует 2-й и 3-й четверти. Пересечение условий ( $\sin 2x\le 0$ и $\cos 2x<0$) дает 3-ю четверть. Таким образом, на промежутке $2x\in [0;2\pi ]$ существует только один корень: $2x=2\pi -\arccos \left(\frac{1-\sqrt{21}}{4}\right)$ $x=\pi -\frac{1}{2}\arccos \left(\frac{1-\sqrt{21}}{4}\right)$ Примечание: Если в вашей задаче был указан конкретный отрезок (например, $[0;\pi ]$), сумма будет равна этому единственному корню. Если отрезка нет, сумма бесконечного ряда корней не определена. Если подразумевался промежуток $[0;2\pi ]$, нужно отобрать все $x$, попадающие в него, с учетом условия $\sin 2x\le 0$. Я могу вычислить сумму для конкретного числового промежутка, если вы его укажете.