Решить уравнение: cosx=cos5x

Для решения уравнения $\cos x=\cos 5x$ воспользуемся свойством равенства косинусов: $\cos \alpha =\cos \beta$ тогда и только тогда, когда $\alpha =\pm \beta +2\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$. Шаг 1: Разделение на два случая Исходя из указанного свойства, уравнение распадается на две совокупности:

1. $5x=x+2\pi k$ $5x=-x+2\pi k$

Где $k$ — любое целое число ( $k\in \mathbb{Z}$). Шаг 2: Решение первого случая Перенесем переменные в одну сторону: $5x-x=2\pi k$ $4x=2\pi k$Разделим обе части на 4: $x=\frac{2\pi k}{4}$ $x_1=\frac{\pi k}{2}$ Шаг 3: Решение второго случая Перенесем переменные в одну сторону: $5x+x=2\pi k$ $6x=2\pi k$Разделим обе части на 6: $x=\frac{2\pi k}{6}$ $x_2=\frac{\pi k}{3}$ Шаг 4: Объединение корней Заметим, что множество решений $x=\frac{\pi k}{2}$ и $x=\frac{\pi k}{3}$ частично пересекаются. Однако для полной записи ответа достаточно перечислить обе серии, так как они полностью покрывают все возможные значения $x$.

Примечание: Также это уравнение можно решить через формулу разности косинусов:
$\cos 5x-\cos x=0$
$-2\sin \frac{5x+x}{2}\sin \frac{5x-x}{2}=0$
$-2\sin 3x\sin 2x=0$
Отсюда $\sin 3x=0$ или $\sin 2x=0$, что приводит к тем же результатам.

Ответ: $x=\frac{\pi k}{2},x=\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо.