Решите уравнения методом введения дополнительных углов:3sinx-4cosx=5

Для решения уравнения вида $a\sin x+b\cos x=c$ методом введения вспомогательного угла, необходимо преобразовать левую часть так, чтобы она приняла вид синуса или косинуса суммы (разности) двух углов. 1. Нормировка уравнения Уравнение имеет вид $3\sin x-4\cos x=5$. Найдем значение $\sqrt{a^2+b^2}$ , где $a=3,b=4$: $\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ Разделим обе части уравнения на 5: $\frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\cos x=\frac{5}{5}$ $\frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\cos x=1$ 2. Введение вспомогательного угла Пусть существует такой угол $\phi$, что:

• $\cos \phi =\frac{3}{5}$ $\sin \phi =\frac{4}{5}$

Так как сумма квадратов этих чисел равна единице ( $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ), такой угол действительно существует. В данном случае $\phi =\arcsin \frac{4}{5}$ (или $\arccos \frac{3}{5}$ ). Подставим эти значения в уравнение: $\cos \phi \cdot \sin x-\sin \phi \cdot \cos x=1$3. Свертывание по формуле синуса разности Используем тригонометрическую формулу $\sin (x-\phi )=\sin x\cos \phi -\cos x\sin \phi$: $\sin (x-\phi )=1$4. Решение простейшего уравнения Для уравнения $\sin \left(t\right)=1$ общее решение имеет вид $t=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . В нашем случае: $x-\phi =\frac{\pi }{2}+2\pi k$ $x=\frac{\pi }{2}+\phi +2\pi k$ 5. Окончательный ответ Подставим значение $\phi =\arcsin \frac{4}{5}$ : $x=\frac{\pi }{2}+\arcsin \frac{4}{5}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\arcsin 0.8+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Хотите, чтобы я решил другое уравнение аналогичным методом или разобрал более сложный случай?