Сколько единиц в двоичной записи числа 22014 - 4650 - 38?

Чтобы найти количество единиц в двоичной записи выражения $2^{2014}-4^{650}-38$, необходимо привести все компоненты к степеням двойки и проанализировать их побитовое представление. 1. Приведение к степеням двойки Сначала перепишем выражение в виде степеней числа 2:

• $2^{2014}$ — это единица и $2014$ нулей в двоичной системе. $4^{650}=(2^2{)}^{650}=2^{1300}$ — это единица и $1300$ нулей. $38=32+4+2=2^5+2^2+2^1$.

Итоговое выражение: $2^{2014}-2^{1300}-2^5-2^2-2^1$2. Поэтапное вычисление Воспользуемся правилом: в двоичной системе разность $2^n-2^k$ (где $n>k$) представляет собой строку из $(n-k)$ единиц, за которой следует $k$ нулей. Шаг 1: Вычисляем $2^{2014}-2^{1300}$ Согласно правилу, это число состоит из:

• $2014-1300=714$ единиц. $1300$ нулей.

Шаг 2: Вычитаем $2^5$ Теперь из полученного результата нужно вычесть $2^5$. Мы «занимаем» одну единицу из младшего разряда первого блока единиц (который заканчивается на позиции $1300$). Разность $2^{1300}-2^5$ превращает этот участок в:

• $1300-5=1295$ единиц. $5$ нулей в конце.

Общее количество единиц на данный момент: $(714-1)+1295=713+1295=2008$ единиц. Шаг 3: Вычитаем $2^2$ и $2^1$ Нам нужно вычесть оставшиеся степени из хвоста числа, состоящего из нулей. Текущее число выглядит как: [713 единиц] [0] [1295 единиц] [00000].

• При вычитании $2^2$ из "хвоста" нулей мы снова занимаем единицу у младшей единицы блока из $1295$ единиц.
  Разность $2^5-2^2$ дает блок из $5-2=3$ единиц. При вычитании $2^1$ из оставшейся части, разность $2^2-2^1$ дает $2-1=1$ единицу.

3. Итоговый подсчет Разложим вычитание $2^{1300}-2^5-2^2-2^1$ более наглядно:

1. $2^{1300}-2^5$ дает $1295$ единиц (позиции с $5$ по $1299$). Чтобы вычесть $2^2$ и $2^1$, представим это как вычитание из «нижних» единиц.
   Удобнее посчитать так:
   $2^{2014}-(2^{1300}+2^5+2^2+2^1)$В двоичной записи вычитаемое $(2^{1300}+2^5+2^2+2^1)$ — это четыре единицы в позициях $1300,5,2,1$.

При вычитании $2^{2014}-2^{1300}$ мы получаем 714 единиц. Затем вычитание каждой последующей степени «забирает» одну единицу из существующего массива и порождает новые единицы до своей позиции:

• Вычитание $2^5$ из $2^{1300}$ превращает 1 единицу (в позиции $1300$) в $1300-5=1295$ единиц. Вычитание $2^2$ из $2^5$ превращает 1 единицу (в позиции $5$) в $5-2=3$ единицы. Вычитание $2^1$ из $2^2$ превращает 1 единицу (в позиции $2$) в $2-1=1$ единицу.

Суммируем блоки единиц:

• Первый блок: $2014-1300=714$. После займа остается 713. Второй блок: $1300-5=1295$. После займа остается 1294. Третий блок: $5-2=3$. После займа остается 2. Четвертый блок: $2-1=\mathbf{1}$.

Общее количество: $713+1294+2+1=2010$. Ответ: 2010 Хотите, чтобы я проверил аналогичное выражение с другими степенями или в другой системе счисления?