Сколько единиц в двоичной записи числа 8^1014 - 2^530 - 12?

В двоичной записи числа 3038 единиц. ️ Шаг 1: Приведение к степеням двойки Сначала представим все компоненты выражения как степени числа $2$:

1. $8^{1014}=(2^3{)}^{1014}=2^{3042}$ $12=8+4=2^3+2^2$

Исходное выражение принимает вид: $N=2^{3042}-2^{530}-2^3-2^2$️ Шаг 2: Преобразование первой разности Используем свойство: разность $2^n-2^m$ (при $n>m$) в двоичной системе представляется как последовательность из $(n-m)$ единиц, за которой следуют $m$ нулей. $2^{3042}-2^{530}=\underset{3042-530}{\underbrace{11\dots 1}}\underset{530}{\underbrace{00\dots 0}}=\sum _{i=530}^{3041}{2}^i$Количество единиц на этом этапе: $3042-530=2512$. Чтобы упростить дальнейшее вычитание, выделим младшую единицу этого диапазона: $2^{3042}-2^{530}=\left(\sum _{i=531}^{3041}{2}^i\right)+2^{530}$️ Шаг 3: Вычитание оставшихся чисел Теперь вычтем $2^3$ и $2^2$ из оставшейся части $2^{530}$:

1. Рассмотрим $2^{530}-2^3$. Согласно правилу, это дает последовательность единиц с позиции $529$ до $3$:
   $2^{530}-2^3=\sum _{i=3}^{529}{2}^i=\left(\sum _{i=4}^{529}{2}^i\right)+2^3$ Теперь вычтем $2^2$:
   $(2^{530}-2^3)-2^2=\left(\sum _{i=4}^{529}{2}^i\right)+2^3-2^2$Так как $2^3-2^2=8-4=4=2^2$, получаем:
   $\left(\sum _{i=4}^{529}{2}^i\right)+2^2$

️ Шаг 4: Подсчет общего количества единиц Соберем все части выражения воедино: $N=\left(\sum _{i=531}^{3041}{2}^i\right)+\left(\sum _{i=4}^{529}{2}^i\right)+2^2$Подсчитаем количество единиц в каждой группе:

1. В первой сумме ( $\sum _{i=531}^{3041}{2}^i$): $3041-531+1=2511$ единиц. Во второй сумме ( $\sum _{i=4}^{529}{2}^i$): $529-4+1=526$ единиц. Последнее слагаемое ( $2^2$): $1$ единица.

Итоговое количество: $2511+526+1=3038$. Ответ: В двоичной записи числа $8^{1014}-2^{530}-12$ содержится 3038 единиц. Нужно ли помочь с другими задачами на системы счисления или логические выражения?