Sqrt(3)sinx+cosx=sqrt(2)

Для решения уравнения $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. 1. Преобразование левой части Разделим обе части уравнения на коэффициент $C=\sqrt{a^2+b^2}$ , где $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. $C=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$ Разделим всё уравнение на 2: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2. Введение вспомогательного угла Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ соответствуют значениям косинуса и синуса угла $\frac{\pi }{6}$ ( ${30}^{\circ }$):

• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение: $\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{6}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Используем тригонометрическую формулу синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$: $\sin (x+\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 3. Решение простейшего уравнения Уравнение вида $\sin \theta =a$ имеет два общих решения:

1. $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ $x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$
   где $n\in \mathbb{Z}$.

Первый случай: $x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ Приведем к общему знаменателю (12): $x=\frac{3\pi -2\pi }{12}+2\pi n=\frac{\pi }{12}+2\pi n$ Второй случай: $x=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ Приведем к общему знаменателю (12): $x=\frac{9\pi -2\pi }{12}+2\pi n=\frac{7\pi }{12}+2\pi n$ Ответ: $x_1=\frac{\pi }{12}+2\pi n,x_2=\frac{7\pi }{12}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо отобрать корни на конкретном промежутке, я могу помочь с этим расчетом.