Tg4x - tg3x/1+tg4x tg3x = корень из 3

Для решения уравнения $\frac{\text{tg}\left(4x\right)-\text{tg}\left(3x\right)}{1+\text{tg}\left(4x\right)\text{tg}\left(3x\right)}=\sqrt{3}$ воспользуемся методами тригонометрии и формулами сложения. 1. Упрощение левой части Левая часть уравнения представляет собой классическую формулу тангенса разности двух аргументов: $\text{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\text{tg}\left(\alpha \right)-\text{tg}\left(\beta \right)}{1+\text{tg}\left(\alpha \right)\text{tg}\left(\beta \right)}$ В данном случае $\alpha =4x$ и $\beta =3x$. Следовательно: $\frac{\text{tg}\left(4x\right)-\text{tg}\left(3x\right)}{1+\text{tg}\left(4x\right)\text{tg}\left(3x\right)}=\text{tg}(4x-3x)=\text{tg}\left(x\right)$ 2. Решение простейшего уравнения После упрощения уравнение принимает вид: $\text{tg}\left(x\right)=\sqrt{3}$ По таблице значений тригонометрических функций известно, что тангенс равен $\sqrt{3}$ при угле $\frac{\pi }{3}$ (или ${60}^{\circ }$). С учетом периодичности функции тангенс ( $T=\pi$), общее решение выглядит так: $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ 3. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi }{2}+\pi n$ . Проверим условия для исходных функций:

• Для $\text{tg}\left(4x\right)$: $4x\ne \frac{\pi }{2}+\pi nx\ne \frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4}$ Для $\text{tg}\left(3x\right)$: $3x\ne \frac{\pi }{2}+\pi nx\ne \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}$

Подставим наше решение $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ в эти условия:

• $\frac{\pi }{3}+\pi k\ne \frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4}$ — условие выполняется для всех целых $k$. $\frac{\pi }{3}+\pi k\ne \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}$ — условие выполняется для всех целых $k$.

Знаменатель $1+\text{tg}\left(4x\right)\text{tg}\left(3x\right)$ также не должен быть равен нулю, что автоматически соблюдается при существовании $\text{tg}(4x-3x)$. Ответ: $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . Нужно ли вам найти конкретные корни на определенном числовом промежутке?