В собственном германии ширина запрещенной зоны при температуре 300 к равна 0,665 эв. на сколько надо повысить температуру, чтобы число электронов в зоне проводимости увеличилось в два раза? температурным изменением эффективной плотности состояний для электронов и дырок при расчете пренебречь.

Чтобы увеличить число электронов в зоне проводимости собственного германия в два раза, необходимо повысить температуру на 17,1 К. Шаг 1: Анализ зависимости концентрации носителей от температуры В собственном полупроводнике концентрация электронов в зоне проводимости $n_i$ определяется выражением: $n_i=A\cdot T^{3/2}\cdot \exp (-\frac{E_g}{2kT})$ где $E_g$ — ширина запрещенной зоны, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура. По условию задачи пренебрегаем температурным изменением эффективной плотности состояний (множитель $T^{3/2}$), поэтому зависимость упрощается до вида: $n_i\approx C\cdot \exp (-\frac{E_g}{2kT})$ Шаг 2: Составление уравнения для отношения концентраций Пусть $n_1$ — концентрация при $T_1=300\text{К}$, а $n_2$ — при $T_2$. По условию $n_2/n_1=2$. Запишем отношение: $\frac{n_2}{n_1}=\frac{\exp (-E_g/(2k{T}_2\left)\right)}{\exp (-E_g/(2k{T}_1\left)\right)}=\exp \left(\frac{E_g}{2k}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})\right)=2$ Прологарифмируем обе части уравнения: $\frac{E_g}{2k}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})=\ln 2$ Отсюда выразим разность обратных температур: $\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{2k\ln 2}{E_g}$ Шаг 3: Вычисление искомого изменения температуры Используем значение постоянной Больцмана в электронвольтах на кельвин: $k\approx 8,617\cdot {10}^{-5}\text{эВ/К}$. Вычислим значение правой части: $\frac{2\cdot 8,617\cdot {10}^{-5}\cdot 0,693}{0,665}\approx 1,796\cdot {10}^{-4}{\text{К}}^{-1}$ Найдем $1/T_2$: $\frac{1}{T_2}=\frac{1}{300}-1,796\cdot {10}^{-4}\approx 0,003333-0,000180=0,003153{\text{К}}^{-1}$ Следовательно, $T_2=1/0,003153\approx 317,1\text{К}$. Изменение температуры составит: $\Delta T=T_2-T_1=317,1-300=17,1\text{К}$Ответ: Температуру необходимо повысить на 17,1 К. Нужно ли рассчитать энергию Ферми для данной системы или рассмотреть влияние подвижности носителей на проводимость?