Ввычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой 𝑦 = 𝑥^2 + 1 и прямыми 𝑥 = −2, 𝑥 = 1. выполнить рисунок.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y=x^2+1$ и прямыми $x=-2,x=1$, равна 6 квадратных единиц. ️ Шаг 1: Построение чертежа Для визуализации области выполним следующие действия:

• График функции: Постройте параболу $y=x^2+1$. Её вершина находится в точке $(0;1)$, ветви направлены вверх. Границы: Проведите вертикальные прямые $x=-2$ и $x=1$. Область: Заштрихуйте фигуру, ограниченную сверху параболой, снизу — осью $Ox$ ( $y=0$), а по бокам — проведенными вертикальными прямыми.

️ Шаг 2: Составление интеграла Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле: $S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$Для данных условий $a=-2$, $b=1$, $f\left(x\right)=x^2+1$: $S={\int }_{-2}^1(x^2+1)dx$️ Шаг 3: Вычисление интеграла Применим формулу Ньютона-Лейбница:

1. Найдем первообразную:
   $\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x$ Подставим пределы интегрирования:
   $S={[\frac{x^3}{3}+x]}_{-2}^1$ Рассчитаем разность значений:
   $S=(\frac{1^3}{3}+1)-(\frac{(-2{)}^3}{3}+(-2\left)\right)$ $S=(\frac{1}{3}+1)-(-\frac{8}{3}-2)$ $S=\frac{4}{3}-(-\frac{14}{3})=\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{18}{3}=6$

Ответ: Площадь фигуры составляет 6. Нужно ли вам помочь с вычислением площадей более сложных фигур, ограниченных двумя и более кривыми?