Вычислить интеграл , используя метод интегрирования по частям. ∫5x lnx dx. с объяснениями

Для вычисления интеграла $\int 5x\ln xdx$ методом интегрирования по частям воспользуемся основной формулой: $\int udv=uv-\int vdu$Шаг 1: Выбор функций $u$ и $dv$ При работе с логарифмическими функциями их обычно выбирают в качестве $u$, так как производная логарифма — это простая рациональная функция, а интегрировать его напрямую сложнее. Остальную часть выражения обозначим за $dv$. Пусть:

• $u=\ln x$ $dv=5xdx$

Шаг 2: Нахождение $du$ и $v$ Теперь найдем дифференциал $du$ (путем дифференцирования) и функцию $v$ (путем интегрирования):

1. Производная $u$:
   $du=(\ln x{)}^{\prime }dx=\frac{1}{x}dx$ Интеграл $dv$:
   $v=\int 5xdx=5\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{5x^2}{2}$

Шаг 3: Применение формулы Подставим полученные значения в формулу интегрирования по частям: $\int 5x\ln xdx=\underset{u}{\underbrace{\ln x}}\cdot \underset{v}{\underbrace{\frac{5x^2}{2}}}-\int \underset{v}{\underbrace{\frac{5x^2}{2}}}\cdot \underset{du}{\underbrace{\frac{1}{x}dx}}$ Шаг 4: Упрощение и вычисление оставшегося интеграла

1. Упростим произведение под интегралом:
   $\frac{5x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}=\frac{5x}{2}$ Перепишем выражение:
   $\frac{5x^2\ln x}{2}-\int \frac{5x}{2}dx$ Вычислим последний интеграл:
   $\int \frac{5x}{2}dx=\frac{5}{2}\int xdx=\frac{5}{2}\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{5x^2}{4}$

Окончательный ответ Соберем все части вместе и добавим константу интегрирования $C$: $\int 5x\ln xdx=\frac{5x^2\ln x}{2}-\frac{5x^2}{4}+C$ Для более эстетичного вида можно вынести общий множитель за скобки: $\frac{5x^2}{2}(\ln x-\frac{1}{2})+C$ Хотите, чтобы я проверил полученный результат путем дифференцирования?