1-sin^(2)x+sin2x=1-5tgx

Для решения уравнения $1-{\sin }^{2}x+\sin 2x=1-5\text{tg}x$ приведем его к более удобному виду, используя тригонометрические тождества. 1. Упрощение уравнения Для начала заметим, что единица в левой и правой частях уравнения взаимно уничтожается: $-{\sin }^{2}x+\sin 2x=-5\text{tg}x$ Умножим всё уравнение на $-1$: ${\sin }^{2}x-\sin 2x=5\text{tg}x$ 2. Раскрытие функций Используем формулы двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и определение тангенса $\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ : ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=\frac{5\sin x}{\cos x}$ Важное условие (ОДЗ): Так как в уравнении присутствует $\text{tg}x$, косинус не может быть равен нулю: $\cos x\ne 0⟹x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 3. Группировка и вынесение общего множителя Перенесем все члены в левую часть: ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-\frac{5\sin x}{\cos x}=0$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(\sin x-2\cos x-\frac{5}{\cos x})=0$ Это дает нам два случая: Случай А: $\sin x=0$ $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $\sin x-2\cos x-\frac{5}{\cos x}=0$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю (учитывая $\cos x\ne 0$): $\frac{\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x-5}{\cos x}=0$ $\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x-5=0$ 4. Решение второго случая Используем формулы:

• $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Подставим их: $\frac{1}{2}\sin 2x-2\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)-5=0$ $\frac{1}{2}\sin 2x-1-\cos 2x-5=0$ $\frac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x=6$ Умножим на 2: $\sin 2x-2\cos 2x=12$ Оценим левую часть уравнения методом введения вспомогательного угла. Максимальное значение выражения $a\sin \alpha +b\cos \alpha$ равно $\sqrt{a^2+b^2}$ . В нашем случае: $\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236$ Так как максимальное значение левой части ( $\sqrt{5}$ ) значительно меньше правой части ( $12$), данное уравнение не имеет решений в действительных числах. Ответ: $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Могу составить для вас аналогичное задание для закрепления темы или проверить решение другого тригонометрического уравнения.