Вычислите предел функции limx-0 2tgx+sin2x/ x.

Для вычисления предела $\underset{x0}{\lim }\frac{2\text{tg}x+\sin 2x}{x}$ воспользуемся свойствами пределов и основными тригонометрическими эквивалентностями. 1. Разложение выражения Разделим числитель почленно на знаменатель: $\underset{x0}{\lim }(\frac{2\text{tg}x}{x}+\frac{\sin 2x}{x})$ 2. Применение свойств пределов Согласно свойствам пределов, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют): $\underset{x0}{\lim }\frac{2\text{tg}x}{x}+\underset{x0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}$ 3. Вычисление отдельных пределов Для решения воспользуемся первым замечательным пределом и его следствиями:

• $\underset{x0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ $\underset{x0}{\lim }\frac{\text{tg}x}{x}=1$

Первое слагаемое: $\underset{x0}{\lim }\frac{2\text{tg}x}{x}=2\cdot \underset{x0}{\lim }\frac{\text{tg}x}{x}=2\cdot 1=2$ Второе слагаемое: Чтобы привести предел к виду $\frac{\sin u}{u}$ , умножим и разделим выражение на 2: $\underset{x0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}=\underset{x0}{\lim }\frac{2\cdot \sin 2x}{2x}=2\cdot \underset{x0}{\lim }\frac{\sin 2x}{2x}$ Так как при $x0$ аргумент $2x0$, то $\underset{x0}{\lim }\frac{\sin 2x}{2x}=1$ . Следовательно: $2\cdot 1=2$4. Итоговый результат Сложим полученные значения: $2+2=4$Ответ: $\underset{x0}{\lim }\frac{2\text{tg}x+\sin 2x}{x}=4$ Я могу также решить этот предел с помощью правила Лопиталя или разложения в ряд Тейлора, если вам требуется альтернативный метод доказательства. Хотите рассмотреть один из этих вариантов?