Решить уравнение высшей степени (2x + 1/x)^2 + 2x+1/x - 12 = 0

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения новой переменной, так как в выражении прослеживается повторяющаяся структура. ${(2x+\frac{1}{x})}^2+(2x+\frac{1}{x})-12=0$ 1. Введение замены Пусть $t=2x+\frac{1}{x}$ . При этом важно помнить, что $x\ne 0$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2+t-12=0$2. Решение квадратного уравнения относительно $t$ Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта:

• Сумма корней: $t_1+t_2=-1$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-12$

Подбором находим корни:

• $t_1=-4$ $t_2=3$

3. Обратная замена Теперь необходимо рассмотреть два случая, подставив найденные значения $t$ в выражение для замены. Случай А: $2x+\frac{1}{x}=-4$ Умножим обе части уравнения на $x$ (с учетом $x\ne 0$): $2x^2+1=-4x$ $2x^2+4x+1=0$Найдем дискриминант: $D=4^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8$Корни: $x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2}$ Таким образом: $x_1=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Случай Б: $2x+\frac{1}{x}=3$ Умножим обе части уравнения на $x$: $2x^2+1=3x$ $2x^2-3x+1=0$Найдем дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$Корни: $x=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{3\pm 1}{4}$ Отсюда получаем: $x_3=\frac{3+1}{4}=1$ $x_4=\frac{3-1}{4}=0.5$ Ответ: Уравнение имеет четыре корня:

1. $x=1$ $x=0.5$ $x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$ $x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$

Хотите, чтобы я проверил решение другого уравнения подобного типа?