X^2-x+sqrt(x^2-x-2)=8 как решить?

Для решения уравнения $x^2-x+\sqrt{x^2-x-2}=8$ наиболее эффективным методом является введение новой переменной. 1. Подготовка уравнения Заметим, что выражение под корнем ( $x^2-x-2$) очень похоже на выражение вне корня ( $x^2-x$). Чтобы упростить уравнение, искусственно создадим подкоренное выражение вне знака корня, вычтя 2 из обеих частей уравнения: $(x^2-x-2)+\sqrt{x^2-x-2}=8-2$ $(x^2-x-2)+\sqrt{x^2-x-2}=6$ 2. Замена переменной Пусть $\sqrt{x^2-x-2}=t$ . Согласно свойствам арифметического квадратного корня, вводим ограничение: $t\ge 0$. Тогда само выражение $(x^2-x-2)$ будет равно $t^2$. Подставим $t$ в уравнение: $t^2+t=6$ $t^2+t-6=0$3. Решение квадратного уравнения относительно $t$ Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=-1$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-6$

Корни уравнения:

1. $t_1=2$ $t_2=-3$

Так как по условию замены $t\ge 0$, корень $t_2=-3$ не подходит (подкоренное выражение не может быть равно отрицательному числу). 4. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$, используя подходящее значение $t=2$: $\sqrt{x^2-x-2}=2$ Возведем обе части в квадрат: $x^2-x-2=4$ $x^2-x-6=0$Снова воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:

• Сумма корней: $x_1+x_2=1$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-6$

Получаем два значения:

• $x_1=3$
• $x_2=-2$

5. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Для исходного уравнения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным: $x^2-x-2\ge 0$.

• При $x=3$: $3^2-3-2=9-3-2=4\ge 0$ (Верно) При $x=-2$: $(-2{)}^2-(-2)-2=4+2-2=4\ge 0$ (Верно)

Ответ: $-2;3$. Хотите, чтобы я разобрал аналогичный пример с параметром или другим типом иррационального уравнения?