1) 2cos(в квадрате)x+7cos2x=5 2) sin(x+30 градусов)+cos(x+60 градусов)=1+cos2x 3)cosx*cos2x*cos*4x*cos8x=1\16 4)cos(в квадрате)x+cos(в квадрате)2x=cos(в квадрате)3x+cos(в квадрате)4x

Решения представленных тригонометрических уравнений:

1. $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ; $x={90}^{\circ }+{180}^{\circ }k,x=\pm {60}^{\circ }+{360}^{\circ }k,k\in \mathbb{Z}$; $x=\frac{2\pi k}{15},k\in \mathbb{Z},k\ne 15n;x=\frac{(2k+1)\pi }{17},k\in \mathbb{Z}$ ; $x=\frac{\pi k}{2},x=\frac{\pi k}{5},k\in \mathbb{Z}$ .

Шаг 1: Решение первого уравнения Используем формулу понижения степени $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$. Подставим в уравнение: $(1+\cos 2x)+7\cos 2x=5$ $8\cos 2x=4\cos 2x=\frac{1}{2}$ $2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi kx=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Шаг 2: Решение второго уравнения Преобразуем левую часть, используя формулу $\cos \alpha =\sin ({90}^{\circ }-\alpha )$: $\sin (x+{30}^{\circ })+\sin ({30}^{\circ }-x)=1+\cos 2x$ Применим сумму синусов $2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ : $2\sin {30}^{\circ }\cos x=2{\cos }^{2}x\cos x=2{\cos }^{2}x$ $\cos x(1-2\cos x)=0$

1. $\cos x=0x={90}^{\circ }+{180}^{\circ }k$ $\cos x=\frac{1}{2}x=\pm {60}^{\circ }+{360}^{\circ }k$

Шаг 3: Решение третьего уравнения Умножим обе части на $16\sin x$ (при условии $\sin x\ne 0$): $16\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\sin x$ Используя формулу $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ последовательно: $8\sin 2x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\sin x4\sin 4x\cos 4x\cos 8x=\sin x$ $2\sin 8x\cos 8x=\sin x\sin 16x=\sin x$ $\sin 16x-\sin x=02\sin \frac{15x}{2}\cos \frac{17x}{2}=0$

1. $\frac{15x}{2}=\pi kx=\frac{2\pi k}{15},k\ne 15n$ $\frac{17x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi kx=\frac{\pi (2k+1)}{17}$

Шаг 4: Решение четвертого уравнения Применим формулу ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$ : $\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}$ $\cos 2x+\cos 4x=\cos 6x+\cos 8x$ Применим сумму косинусов: $2\cos 3x\cos x=2\cos 7x\cos x\cos x(\cos 3x-\cos 7x)=0$ $\cos x\cdot 2\sin 5x\sin 2x=0$

1. $\cos x=0x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ (входит в решение $\sin 2x=0$) $\sin 2x=0x=\frac{\pi k}{2}$ $\sin 5x=0x=\frac{\pi k}{5}$

Ответ:

1. $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$ $x={90}^{\circ }+{180}^{\circ }k,x=\pm {60}^{\circ }+{360}^{\circ }k$ $x=\frac{2\pi k}{15}(k\ne 15n),x=\frac{(2k+1)\pi }{17}$ $x=\frac{\pi k}{2},x=\frac{\pi k}{5}$

Нужно ли подготовить проверку для ОДЗ в третьем примере или разобрать графическое представление решений?