Log²(3x-6)=log²(2x-3)

Для решения уравнения ${\log }^2(3x-6)={\log }^2(2x-3)$ воспользуемся методом разложения на множители и определением области допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $3x-6>0⟹3x>6⟹\mathbf{x}\mathbf{>}\mathbf{2}$ $2x-3>0⟹2x>3⟹\mathbf{x}\mathbf{>}1.5$

Общее условие: $x>2$. 2. Решение уравнения Уравнение вида $a^2=b^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $a=b$ и $a=-b$. $\log (3x-6)=\log (2x-3)\text{или}\log (3x-6)=-\log (2x-3)$Случай А: $\log (3x-6)=\log (2x-3)$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $3x-6=2x-3$ $3x-2x=6-3$ $x_1=3$Проверка ОДЗ: $3>2$ (подходит). Случай Б: $\log (3x-6)=-\log (2x-3)$ Используем свойство логарифма $-\log \left(a\right)=\log \left(a^{-1}\right)$: $\log (3x-6)=\log \left(\frac{1}{2x-3}\right)$ Приравниваем аргументы: $3x-6=\frac{1}{2x-3}$ $(3x-6)(2x-3)=1$Раскрываем скобки: $6x^2-9x-12x+18=1$ $6x^2-21x+17=0$Решаем через дискриминант $D=b^2-4ac$: $D=(-21{)}^2-4\cdot 6\cdot 17=441-408=33$Находим корни: $x=\frac{21\pm \sqrt{33}}{12}$ Проверка корней на соответствие ОДЗ ( $x>2$):

1. $x_2=\frac{21+\sqrt{33}}{12}\approx \frac{21+5.74}{12}\approx 2.23$ (подходит, так как $2.23>2$) $x_3=\frac{21-\sqrt{33}}{12}\approx \frac{21-5.74}{12}\approx 1.27$ (не подходит, так как $1.27<2$)

Ответ: $x_1=3,x_2=\frac{21+\sqrt{33}}{12}$ Я могу помочь с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений, если это необходимо.