1)написать уравнение касательной y=f(x)=x^2,x0=1 2)найти промежутки монотонности: y=x^2-5x+4

Уравнение касательной: $y=2x-1$. Промежутки монотонности: функция убывает на интервале $(-\infty ;2,5]$ и возрастает на интервале $[2,5;+\infty )$. ️ Шаг 1: Нахождение уравнения касательной Для функции $f\left(x\right)=x^2$ в точке $x_0=1$ уравнение касательной задается формулой $y=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$.

1. Вычислим значение функции: $f\left(1\right)=1^2=1$. Найдем производную: $f^{\prime }\left(x\right)=2x$. Вычислим значение производной в точке: $f^{\prime }\left(1\right)=2\cdot 1=2$. Подставим значения в формулу: $y=1+2(x-1)=1+2x-2=2x-1$.

️ Шаг 2: Исследование функции на монотонность Для определения промежутков монотонности функции $y=x^2-5x+4$ необходимо найти её производную и определить её знаки.

1. Найдем производную: $y^{\prime }=(x^2-5x+4{)}^{\prime }=2x-5$. Найдем критические точки, решив уравнение $y^{\prime }=0$:
   $2x-5=0⟹2x=5⟹x=2,5$ Определим знаки производной на полученных интервалах:
   • На интервале $(-\infty ;2,5)$ возьмем $x=0$: $y^{\prime }\left(0\right)=2\left(0\right)-5=-5<0$. Производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(2,5;+\infty )$ возьмем $x=3$: $y^{\prime }\left(3\right)=2\left(3\right)-5=1>0$. Производная положительна, функция возрастает.

Ответ:

1. Уравнение касательной: y = 2x - 1
2. Промежутки монотонности: убывает на (-\infty; 2,5], возрастает на [2,5; +\infty)

Укажите, требуется ли вам построение графиков данных функций для визуализации полученных результатов.