(log0,5x)2+log0,5x - 2 = 0

Для решения уравнения $({\log }_{0,5}x{)}^2+{\log }_{0,5}x-2=0$ выполните следующие шаги: 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x>0$2. Введение новой переменной Заметим, что выражение ${\log }_{0,5}x$ повторяется. Для упрощения заменим его на переменную $t$: Пусть $t={\log }_{0,5}x$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2+t-2=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$ $\sqrt{D}=3$ $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, используя полученные значения $t$: Случай 1: ${\log }_{0,5}x=1$ По определению логарифма: $x_1=0,5^1$ $x_1=0,5$ Случай 2: ${\log }_{0,5}x=-2$ $x_2=0,5^{-2}$ Так как $0,5=\frac{1}{2}$ , то $(\frac{1}{2}{)}^{-2}=2^2$ : $x_2=4$ 5. Проверка ОДЗ Оба полученных корня ( $0,5$ и $4$) больше нуля, что соответствует условию $x>0$. Ответ: $0,5$; $4$. Нужно ли вам проверить решение аналогичного логарифмического неравенства?