Решите неравенство: 1. (0,2) в степени x или равно 4 3. logx с основанием 2 > 2 4, log(x+2) с основанием 0,2 > или равно -1 5. 4 в степени x+2 - 13*4 в степени x >12

Вот подробные решения для каждого из ваших неравенств. 1. Показательное неравенство $(0,2{)}^x\le 4$ Решение: $x\ge {\log }_{0,2}4$

1. Приведение к общему основанию. Представим $0,2$ как обыкновенную дробь: $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$ . Неравенство примет вид: $(5^{-1}{)}^x\le 4$ или $5^{-x}\le 4$. Логарифмирование. Прологарифмируем обе части по основанию $5$. Так как $5>1$, знак неравенства сохраняется:
   $-x\le {\log }_{5}4⟹x\ge -{\log }_{5}4$ Преобразование ответа. Используя свойства логарифма: $-{\log }_{5}4={\log }_{1/5}4={\log }_{0,2}4$. Примерное значение: $x\ge -0,86$.

3. Логарифмическое неравенство ${\log }_{2}x>2$ Решение: $x>4$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x>0$. Потенцирование. Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $2$: $2={\log }_2{2}^2={\log }_{2}4$. Сравнение аргументов. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется для аргументов: $x>4$. Это условие удовлетворяет ОДЗ.

4. Логарифмическое неравенство ${\log }_{0,2}(x+2)\ge -1$ Решение: $-2<x\le 3$

1. Нахождение ОДЗ. Выражение под логарифмом должно быть больше нуля: $x+2>0⟹x>-2$. Преобразование правой части. Представим $-1$ как логарифм по основанию $0,2$: $-1={\log }_{0,2}(0,2{)}^{-1}={\log }_{0,2}5$. Сравнение аргументов. Основание логарифма $0,2<1$, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
   $x+2\le 5⟹x\le 3$ Учет ОДЗ. Объединяя условия $x>-2$ и $x\le 3$, получаем интервал $x\in (-2;3]$.

5. Показательное неравенство $4^{x+2}-13\cdot 4^x>12$ Решение: $x>{\log }_{4}4⟹x>1$

1. Вынесение общего множителя. Используем свойство степеней $4^{x+2}=4^x\cdot 4^2=16\cdot 4^x$:
   $16\cdot 4^x-13\cdot 4^x>12$ Приведение подобных слагаемых. Вычтем коэффициенты при $4^x$:
   $(16-13)\cdot 4^x>12⟹3\cdot 4^x>12$ Решение простейшего неравенства. Разделим обе части на $3$:
   $4^x>4⟹4^x>4^1$Так как основание $4>1$, то $x>1$.

Ответ

1. $x\in [{\log }_{0,2}4;+\infty )$ $x\in (4;+\infty )$ $x\in (-2;3]$ $x\in (1;+\infty )$

Хотите разобрать более сложные системы неравенств или перейти к изучению методов решения логарифмических уравнений?