25^(x-1,5) - 12*5^(x-2) +7=0

Для решения уравнения ${25}^{x-1,5}-12\cdot 5^{x-2}+7=0$ воспользуемся свойствами степеней и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Приведем все степени к основанию 5:

• ${25}^{x-1,5}=(5^2{)}^{x-1,5}=5^{2x-3}$ Используя свойство $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$ , разложим слагаемые:
  • $5^{2x-3}=\frac{5^{2x}}{5^3}=\frac{(5^x{)}^2}{125}$ $5^{x-2}=\frac{5^x}{5^2}=\frac{5^x}{25}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $\frac{(5^x{)}^2}{125}-12\cdot \frac{5^x}{25}+7=0$ 2. Введение переменной Пусть $5^x=t$, где $t>0$. Уравнение принимает вид: $\frac{t^2}{125}-\frac{12t}{25}+7=0$ Чтобы избавиться от знаменателей, умножим всё уравнение на 125: $t^2-(12\cdot 5)t+(7\cdot 125)=0$ $t^2-60t+875=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант: $D=(-60{)}^2-4\cdot 1\cdot 875=3600-3500=100$ $\sqrt{D}=10$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{60+10}{2}=\frac{70}{2}=35$ $t_2=\frac{60-10}{2}=\frac{50}{2}=25$ Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 4. Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$: Случай 1: $5^x=25$ $5^x=5^2$ $x_1=2$ Случай 2: $5^x=35$ Прологарифмируем по основанию 5: $x_2={\log }_{5}35$ Это выражение можно упростить: ${\log }_{5}35={\log }_5(5\cdot 7)={\log }_{5}5+{\log }_{5}7=1+{\log }_{5}7$ Ответ: $2;1+{\log }_{5}7$ Я могу помочь с решением других показательных или логарифмических уравнений, если вы пришлете их условия.