3*4^x +2*9^x-5*6^x<0

Для решения неравенства $3\cdot 4^x+2\cdot 9^x-5\cdot 6^x<0$ воспользуемся методом сведения к квадратному уравнению через деление на одну из степеней. 1. Преобразование уравнения Перепишем степени так, чтобы основания были связаны между собой:

• $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$ $9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2$ $6^x=(2\cdot 3{)}^x=2^x\cdot 3^x$

Неравенство принимает вид: $3\cdot (2^x{)}^2-5\cdot (2^x\cdot 3^x)+2\cdot (3^x{)}^2<0$2. Однородное уравнение Это однородное неравенство второй степени. Разделим обе части на $(3^x{)}^2$. Так как $3^x$ всегда больше нуля, знак неравенства не изменится: $\frac{3\cdot (2^x{)}^2}{(3^x{)}^2}-\frac{5\cdot 2^x\cdot 3^x}{(3^x{)}^2}+\frac{2\cdot (3^x{)}^2}{(3^x{)}^2}<0$ $3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x+2<0$ 3. Введение новой переменной Пусть $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ , где $t>0$. Тогда неравенство становится квадратным: $3t^2-5t+2<0$4. Решение квадратного неравенства Найдем корни уравнения $3t^2-5t+2=0$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$ $t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ $t_2=\frac{5+1}{6}=1$ Так как это парабола ветвями вверх, выражение меньше нуля в интервале между корнями: $\frac{2}{3}<t<1$ 5. Обратная подстановка Вернемся к переменной $x$: $\frac{2}{3}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^x<1$ Представим границы в виде степеней с основанием $\frac{2}{3}$ : ${\left(\frac{2}{3}\right)}^1<{\left(\frac{2}{3}\right)}^x<{\left(\frac{2}{3}\right)}^0$ Поскольку основание степени $0<\frac{2}{3}<1$ , при переходе к показателям знаки неравенства меняются на противоположные: $1>x>0$или $0<x<1$Ответ: $x\in (0;1)$ Я могу составить для вас аналогичное тренировочное задание с другими коэффициентами или разобрать графический метод решения этого неравенства.