Решите уравнение: а) 4sin^2 x - 4sin x + 1 =0 б) cos 2x - cos x - cos 3x = 0 в) 2sin^2 x - 4 sin x × cos x + 5cos^2 x =2

а) x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; б) x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z}; в) x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \arctan \frac{3}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}. ️ Шаг 1: Решение уравнения а) Уравнение $4{\sin }^{2}x-4\sin x+1=0$ представляет собой квадратное уравнение относительно $\sin x$. Заметим, что левая часть является полным квадратом: $(2\sin x-1{)}^2=0$Отсюда следует: $2\sin x-1=0⟹\sin x=\frac{1}{2}$ Используя общую формулу для $\sin x=a$: $x=(-1{)}^k\arcsin \frac{1}{2}+\pi k=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 2: Решение уравнения б) Уравнение $\cos 2x-\cos x-\cos 3x=0$. Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ : $\cos 2x-(\cos 3x+\cos x)=0⟹\cos 2x-2\cos \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=0$ $\cos 2x-2\cos 2x\cos x=0⟹\cos 2x(1-2\cos x)=0$ Разложим на два случая:

1. $\cos 2x=0⟹2x=\frac{\pi }{2}+\pi n⟹x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ $1-2\cos x=0⟹\cos x=\frac{1}{2}⟹x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$

️ Шаг 3: Решение уравнения в) Уравнение $2{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+5{\cos }^{2}x=2$. Заменим константу $2$ через основное тригонометрическое тождество $2=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$: $2{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+5{\cos }^{2}x=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x$ Вычитаем $2{\sin }^{2}x$ и $2{\cos }^{2}x$ из обеих частей: $-4\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=0⟹\cos x(3\cos x-4\sin x)=0$ Разложим на два случая:

1. $\cos x=0⟹x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $3\cos x-4\sin x=0$. Разделим на $\cos x$ (так как случай $\cos x=0$ уже рассмотрен):
   $3-4\tan x=0⟹\tan x=\frac{3}{4}⟹x=\arctan \frac{3}{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: а) x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; б) x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, n, m \in \mathbb{Z}; в) x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \arctan \frac{3}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}. Нужна ли вам помощь с отбором корней на определенном промежутке для какого-либо из этих уравнений?