Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 30420мм квадратных, а ее боковое ребро - 169мм.найти площадь основания пирамиды

Площадь основания пирамиды может принимать два значения: $24336\sqrt{3}$ мм ${}^2$ или $4225\sqrt{3}$ мм ${}^2$ в зависимости от выбранного корня для стороны основания. ️ Шаг 1: Нахождение площади одной боковой грани Так как пирамида правильная треугольная, её боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Площадь одной грани $S_{gr}$ вычисляется как: $S_{gr}=\frac{S_{bok}}{3}=\frac{30420}{3}=10140{\text{мм}}^2$ ️ Шаг 2: Определение связи между стороной основания и апофемой Пусть $a$ — сторона основания, $l=169$ мм — боковое ребро, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани). Площадь грани: $S_{gr}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a=10140⟹a\cdot h_a=20280$ Из прямоугольного треугольника в боковой грани по теореме Пифагора: $h_a=\sqrt{l^2-(\frac{a}{2}{)}^2}=\sqrt{{169}^2-\frac{a^2}{4}}$ ️ Шаг 3: Составление и решение уравнения для стороны основания Подставим выражение для $h_a$ в уравнение площади: $a\cdot \sqrt{{169}^2-\frac{a^2}{4}}=20280$ Возведем обе части в квадрат: $a^2\cdot (28561-\frac{a^2}{4})=411278400$ $-\frac{a^4}{4}+28561a^2-411278400=0$ $a^4-114244a^2+1645113600=0$Пусть $x=a^2$, тогда $x^2-114244x+1645113600=0$. Решая квадратное уравнение, получаем: $D={114244}^2-4\cdot 1645113600=13051691536-6580454400=6471237136={80444}^2$ $x_1=\frac{114244+80444}{2}=97344⟹a_1=312\text{мм}$ $x_2=\frac{114244-80444}{2}=16900⟹a_2=130\text{мм}$ ️ Шаг 4: Вычисление площади основания Площадь основания правильной треугольной пирамиды: $S_{osn}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

1. Для $a_1=312$: $S_{osn1}=\frac{97344\sqrt{3}}{4}=24336\sqrt{\mathbf{3}}{\text{мм}}^2$ Для $a_2=130$: $S_{osn2}=\frac{16900\sqrt{3}}{4}=4225\sqrt{\mathbf{3}}{\text{мм}}^2$

Ответ: 24336\sqrt{3} мм ${}^2$ или 4225\sqrt{3} мм ${}^2$. Требуется ли вам вычислить объем данной пирамиды для обоих случаев?