Дана правильная треугольная призма авса1в1с1, все рёбра которой равны 4. через точки a, с1 и середину t ребра а1в1 проведена плоскость. а) докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямо- угольным треугольником. б) найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью abc .

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания $ABC$ составляет $\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ . Шаг 1: Определение вида сечения и введение системы координат Пусть начало координат находится в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ вдоль ребра $A{A}_1$. Так как треугольник $ABC$ правильный, высота из вершины $C$ на $AB$ равна $4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ . Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(2,2\sqrt{3},0)$ , $A_1(0,0,4)$, $B_1(4,0,4)$, $C_1(2,2\sqrt{3},4)$ . Точка $T$ — середина $A_1{B}_1$, следовательно, $T(2,0,4)$. Сечение проходит через точки $A$, $C_1$ и $T$. Проверим, лежат ли другие точки призмы в этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через $A(0,0,0)$, имеет вид $ax+by+cz=0$. Подставим координаты $T$ и $C_1$:

1. $2a+4c=0a=-2c$ $2a+2\sqrt{3}b+4c=0-4c+2\sqrt{3}b+4c=0b=0$
   Пусть $c=1$, тогда $a=-2$. Уравнение плоскости: $-2x+z=0$ или $z=2x$.

Шаг 2: Доказательство того, что сечение — прямоугольный треугольник Найдем длины сторон треугольника $AT{C}_1$:

1. $AT=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ $T{C}_1=\sqrt{(2-2{)}^2+(2\sqrt{3}-0{)}^2+(4-4{)}^2}=\sqrt{12}$ $A{C}_1=\sqrt{(2-0{)}^2+(2\sqrt{3}-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{4+12+16}=\sqrt{32}$
   Проверим выполнение теоремы Пифагора:
   $A{T}^2+T{C}_1^2=(\sqrt{20}{)}^2+(\sqrt{12}{)}^2=20+12=32$
   $A{C}_1^2=(\sqrt{32}{)}^2=32$
   Так как $A{T}^2+T{C}_1^2=A{C}_1^2$, треугольник $AT{C}_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Шаг 3: Нахождение угла между плоскостями Угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$ (уравнение которой $z=0$) равен углу между их нормальными векторами. Вектор нормали к сечению: $\overrightarrow{n_1}=(-2,0,1)$. Вектор нормали к плоскости $ABC$: $\overrightarrow{n_2}=(0,0,1)$. Косинус угла $\alpha$ между плоскостями: $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{|-2\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot 1|}{\sqrt{(-2{)}^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ Следовательно, $\alpha =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ . Ответ: а) Доказано; б) $\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ Нужно ли вычислить площадь этого сечения или найти расстояние от какой-либо вершины до данной плоскости?