Как определить в каких случаях х=(-1)^n+1*п/6+2пк, а в каких просто х=(-1)^n*п/6+2пк

Выбор между этими двумя формулами зависит исключительно от знака числа в правой части исходного уравнения $\sin x=a$. Общая формула Решение уравнения $\sin x=a$ записывается в виде: $x=(-1{)}^n\cdot \arcsin (a)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Запись, которую вы привели ( $\mathrm{+2}\pi k$), технически является объединением двух серий корней, но в стандартном школьном виде она обычно записывается через $+\pi n$. Рассмотрим, как знак числа $a$ влияет на показатель степени минус единицы. 1. Случай $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$ Эта формула используется, когда $a$ — положительное число. Для уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$ :

• $\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}$ Подставляем в общую формулу: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$

Здесь у $\left(-1\right)$ степень $n$. Это значит, что при четном $n$ корень будет в первой четверти, а при нечетном — во второй. 2. Случай $x=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$ Эта формула используется, когда $a$ — отрицательное число. Для уравнения $\sin x=-\frac{1}{2}$ :

• $\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}$ Подставляем в общую формулу: $x=(-1{)}^n\cdot (-\frac{\pi }{6})+\pi n$ Выносим минус из-под арксинуса: $x=(-1{)}^n\cdot (-1{)}^1\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$ По правилам степеней: $x=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$

Добавочная единица в степени «поворачивает» знак, чтобы учесть, что само значение синуса было отрицательным. Сравнение в таблице

Важное замечание по периоду В вашем вопросе указан период $\mathrm{+2}\pi k$.

• Если вы используете запись с $(-1{)}^n$, то период обязательно должен быть $+\pi n$ (или $+\pi k$). Это компактная запись, объединяющая две точки на окружности. Если вы записываете корни раздельно (без минус единицы в степени), тогда используется период $\mathrm{+2}\pi k$:
  1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$

Резюме: Используйте $(-1{)}^{n+1}$, если решаете уравнение $\sin x=a$ и число $a$ — отрицательное. Используйте $(-1{)}^n$, если $a$ — положительное. Я могу составить таблицу значений арксинусов для основных тригонометрических точек, чтобы вам было проще определять знак в будущем. Хотите?