Что такое нули функции?

Нули функции — это значения аргумента (переменной $x$), при которых значение функции (переменной $y$) становится равным нулю. С точки зрения алгебры, нахождение нулей функции $y=f\left(x\right)$ сводится к решению уравнения: $f\left(x\right)=0$Геометрический смысл На графике нули функции — это точки пересечения или касания графика с осью абсцисс (осью $OX$).

• Если график пересекает ось $OX$, в этой точке координата $y$ всегда равна $0$. Количество нулей функции соответствует количеству точек, в которых график касается или пересекает горизонтальную ось.

Примеры нахождения нулей

1. Линейная функция: $y=2x-4$
   Чтобы найти нуль, приравниваем выражение к нулю:
   $2x-4=0$ $2x=4$ $x=2$Результат: Число $2$ является нулем данной функции. Квадратичная функция: $y=x^2-5x+6$
   Решаем квадратное уравнение $x^2-5x+6=0$ через дискриминант или теорему Виета:
   $(x-2)(x-3)=0$ $x_1=2,x_2=3$Результат: Функция имеет два нуля в точках $2$ и $3$. Функция без нулей: $y=x^2+1$
   Уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней, так как $x^2=-1$ невозможно в области действительных чисел.
   Результат: У этой функции нет нулей (её график целиком лежит выше оси $OX$).

Важные нюансы

• Область определения: Нулем функции может считаться только то значение $x$, которое входит в область определения функции ( $D\left(f\right)$). Если найденный корень уравнения не входит в $D\left(f\right)$, он не является нулем функции. Промежутки знакопостоянства: Нули функции делят её область определения на интервалы, внутри которых функция сохраняет постоянный знак (либо всегда положительна, либо всегда отрицательна). Это свойство используется в методе интервалов. Кратность нуля: В высшей алгебре выделяют кратность корня. Например, в функции $y=(x-2{)}^2$ точка $x=2$ является нулем кратности 2. В таких точках график не пересекает ось, а лишь касается её.

Я могу составить для вас алгоритм нахождения нулей для конкретного типа функций или подготовить несколько практических задач для закрепления темы.