Как решать биквадратные уравнения ?

Биквадратное уравнение — это уравнение четвертой степени вида: $a{x}^4+b{x}^2+c=0$где $a\ne 0$. Основной метод решения заключается в сведении его к обычному квадратному уравнению с помощью замены переменной. Алгоритм решения 1. Введение новой переменной Замените $x^2$ на новую переменную (обычно используют $t$ или $y$): $x^2=t$Важное условие: так как квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным, то $t\ge 0$. 2. Составление квадратного уравнения Подставьте $t$ в исходное уравнение. Так как $x^4=(x^2{)}^2=t^2$, уравнение примет вид: $a{t}^2+bt+c=0$3. Нахождение корней квадратного уравнения Решите полученное уравнение через дискриминант ( $D$):

1. Найдите дискриминант: $D=b^2-4ac$. Если $D<0$, корней нет. Если $D\ge 0$, найдите корни $t_1$ и $t_2$ по формуле:
   $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

4. Отбор подходящих корней Проверьте полученные значения $t$. Если какой-либо корень $t<0$, он не подходит для дальнейшего решения, так как уравнение $x^2=t$ не будет иметь вещественных корней. 5. Обратная замена Для каждого найденного положительного значения $t$ вернитесь к переменной $x$:

1. $x^2=t_1{x}_{1,2}=\pm \sqrt{t_1}$ $x^2=t_2{x}_{3,4}=\pm \sqrt{t_2}$

Пример решения Решим уравнение: $x^4-5x^2+4=0$

1. Замена: Пусть $x^2=t$, где $t\ge 0$. Уравнение: $t^2-5t+4=0$. Дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$. Корни для $t$:
   • $t_1=\frac{5+3}{2}=4$ $t_2=\frac{5-3}{2}=1$
     Оба корня положительные, значит, оба подходят.
   Обратная замена:
   • $x^2=4x_1=2,x_2=-2$ $x^2=1x_3=1,x_4=-1$

Ответ: $-2;-1;1;2$. Количество возможных корней В зависимости от дискриминанта и знаков корней $t_1,t_2$, биквадратное уравнение может иметь:

• 4 корня: если $t_1,t_2>0$; 3 корня: если один корень равен $0$, а второй больше $0$; 2 корня: если один корень положительный, а второй отрицательный (или если $D=0$ и $t>0$); 1 корень: если $t_1=0$, а $t_2<0$; 0 корней: если $D<0$ или оба корня $t_1,t_2<0$.

Я могу составить для вас несколько тренировочных уравнений разной сложности для закрепления материала. Хотите, чтобы я это сделал?