Доказать, что (a-b)2=a2-2ab+b2

Доказательство формулы квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ основывается на основных законах алгебры: распределительном (дистрибутивном) законе умножения и правилах работы с отрицательными числами. Алгебраический способ доказательства Возведение выражения в квадрат означает умножение этого выражения на само себя. Следовательно: $(a-b{)}^2=(a-b)\cdot (a-b)$Для раскрытия скобок воспользуемся правилом умножения многочлена на многочлен: каждый член первой скобки нужно поочередно умножить на каждый член второй скобки.

1. Умножаем $a$ на вторую скобку:
   • $a\cdot a=a^2$ $a\cdot (-b)=-ab$
2. Умножаем $-b$ на вторую скобку:
   • $-b\cdot a=-ba$ (что равно $-ab$ в силу переместительного закона) $-b\cdot (-b)=+b^2$ (произведение двух отрицательных чисел дает положительный результат)
3. Записываем полученное выражение целиком:
   $a^2-ab-ab+b^2$ Приводим подобные слагаемые:
   Слагаемые $-ab$ и $-ab$ в сумме дают $-2ab$.

Итог: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$Геометрическая интерпретация Эту формулу можно представить как поиск площади квадрата со стороной $(a-b)$.

• Представьте большой квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$. Внутри него мы хотим найти площадь меньшего квадрата со стороной $(a-b)$. Чтобы получить площадь этого малого квадрата из площади большого ( $a^2$), нам нужно:
  1. Вычесть два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (площадь каждого $ab$). Заметив, что при вычитании двух таких прямоугольников мы дважды вычли маленький квадрат в углу со стороной $b$ (площадь $b^2$), нам необходимо один раз прибавить его обратно, чтобы восстановить баланс.

Таким образом, площадь искомого квадрата: $a^2-2ab+b^2$. Основные правила, использованные в доказательстве:

• Определение степени: $x^2=x\cdot x$. Дистрибутивность: $(x+y)(z+w)=xz+xw+yz+yw$. Коммутативность: $ab=ba$. Правило знаков: $\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=1$.

Хотите, чтобы я разобрал аналогичным образом формулу суммы кубов или разности квадратов?