Найдите точку максимума функции y=2+3x-x*sqrtx

Точкой максимума функции $y=2+3x-x\sqrt{x}$ является $x=4$. Шаг 1: Определение области определения и упрощение функции Функция содержит выражение $\sqrt{x}$ , поэтому область определения — $x\ge 0$. Для удобства дифференцирования представим функцию в степенном виде: $y=2+3x-x^1\cdot x^{0.5}=2+3x-x^{1.5}$Шаг 2: Нахождение производной функции Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$: $y^{\prime }=(2{)}^{\prime }+(3x{)}^{\prime }-(x^{1.5}{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=0+3-1.5\cdot x^{0.5}=3-1.5\sqrt{x}$ Шаг 3: Поиск критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $3-1.5\sqrt{x}=0$ $1.5\sqrt{x}=3$ $\sqrt{x}=2$ $x=4$Точка $x=4$ входит в область определения функции. Шаг 4: Проверка точки на максимум Проверим знак производной в окрестности точки $x=4$:

1. При $x=1$: $y^{\prime }\left(1\right)=3-1.5\sqrt{1}=1.5>0$ (функция возрастает). При $x=9$: $y^{\prime }\left(9\right)=3-1.5\sqrt{9}=3-4.5=-1.5<0$ (функция убывает).

Так как производная меняет знак с плюса на минус, точка $x=4$ является точкой максимума. Ответ: Точка максимума функции равна 4. Нужно ли вам найти наибольшее значение этой функции на каком-либо конкретном отрезке?