Доказать тождество: sin(п/6 + альфа) + sin(п/6- альфа)=cos альфа вычислить: 2ctg30градусов - 2in45градусов + 3sin90градусов -2ctg п/3-3(sing/6)в квадрате +1/2cos п/2

Для доказательства тождества воспользуемся формулой суммы синусов $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ , что дает нам $\cos \alpha$. Значение выражения составляет $\frac{4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}+2,25$ . ️ Шаг 1: Доказательство тождества Для доказательства тождества $\sin (\frac{\pi }{6}+\alpha )+\sin (\frac{\pi }{6}-\alpha )=\cos \alpha$ применим формулу суммы синусов: $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ Пусть $x=\frac{\pi }{6}+\alpha$ и $y=\frac{\pi }{6}-\alpha$ . Тогда:

1. Вычислим полусумму аргументов: $\frac{x+y}{2}=\frac{(\frac{\pi }{6}+\alpha )+(\frac{\pi }{6}-\alpha )}{2}=\frac{\frac{2\pi }{6}}{2}=\frac{\pi }{6}$ Вычислим полуразность аргументов: $\frac{x-y}{2}=\frac{(\frac{\pi }{6}+\alpha )-(\frac{\pi }{6}-\alpha )}{2}=\frac{2\alpha }{2}=\alpha$
   Подставим полученные значения в формулу:
   $2\sin \frac{\pi }{6}\cos \alpha =2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \alpha =\cos \alpha$ Тождество доказано.

️ Шаг 2: Вычисление значения выражения Подставим табличные значения тригонометрических функций в выражение: $2\text{ctg}{30}^{\circ }-2\sin {45}^{\circ }+3\sin {90}^{\circ }-2\text{ctg}\frac{\pi }{3}-3(\sin \frac{\pi }{6}{)}^2+\frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{2}$

1. Находим значения функций:
   $\text{ctg}{30}^{\circ }=\sqrt{3}$
   $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$
   $\sin {90}^{\circ }=1$
   $\text{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
   $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
   $\cos \frac{\pi }{2}=0$ Подставляем и упрощаем по частям:
   $2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
   $-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$
   $3\cdot 1=3$
   $-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
   $-3\cdot (\frac{1}{2}{)}^2=-3\cdot \frac{1}{4}=-0,75$
   $\frac{1}{2}\cdot 0=0$ Складываем результаты:
   $2\sqrt{3}-\sqrt{2}+3-\frac{2\sqrt{3}}{3}-0,75=(2-\frac{2}{3})\sqrt{3}-\sqrt{2}+(3-0,75)=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}+2,25$

Ответ: Тождество доказано; значение выражения: \frac{4\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} + 2,25. Сообщите, требуется ли вам численное значение данного выражения с плавающей запятой или помощь с другими тригонометрическими формулами.